Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Клебша - Гордана и связанных с ними коэффициентов можно найти в книге
Бринка и Сэтчлера.
Разложение (7.44) приводит к соотношениям между произведениями матричных
элементов представлений D(/>. Коэффициенты Клебша - Гордана преобразуют
параметризуемые числами т,х, тг векторы базиса произведения
J - (h+ it)
D<b> (g) D""> - 2
(7.44)
196
Глава 7
представлений в левой части равенства (7.44) в параметризуемые числами JM
векторы базиса суммы представлений в правой части равенства (7.44).
Значит,
2 С (hhj, т1т2М)С (jJtJ , т^т^М ) =
тхтх (mim2)
=
где все матричные элементы матриц D соответствуют одному и тому же
вращению. (Числа тг, т'2, стоящие в скобках, связаны с числами т1х т[
соотношениями пц-\-т2= -М, т[-^-т'2=М'.) В силу свойства ортогональности
коэффициентов данное соотношение можно обратить:
Dm(m1Z)m'm2=S2C'(/172/. m1mJM)C Тп[т'гМ') D$,M'
Эти соотношения не нужно путать с определением представления [формула
(4.3)]
D&m (R (с)) = 2 Шп (R (a)) (R (Ь)),
П
где R (c)=R (a)R (b).
Д. Примеры базисных векторов
В качестве первого примера базиса неприводимого представления группы 5tz
рассмотрим три единичных вектора еж, е^ и ez в обычном трехмерном
пространстве. Они задают базис представления с / = 1. Очевидно, что
трехмерное пространство, порождаемое этими тремя векторами, неприводимо.
Таким представлением может быть лишь представление Du>. Подобное
отождествление можно также провести на основании характера 2 cos а+1.
Чтобы записать матрицы операторов в обычной форме, введенной в предыдущем
пункте параграфа, выберем в качестве векторов базиса е,к следующие
линейные комбинации векторов:
е! = - (ex + iey)/21^, е0 = ег, (7.45)
е_1 = (еЛ - iev)/21'*.
Нетрудно показать, что векторы ет преобразуются по представлениям Т(т)
группы 5?2 вращений вокруг оси z
Непрерывные группы и их представления_______________197
[формула (7.13)]. Если отношения фазовых множителей выбрать в
соответствии с условиями Кондона - Шортли [формула (7.40)], то, как мы
убедимся ниже, три вектора ет будут ортонормальны относительно скалярного
произведения (3.7). Из равенств (7.23) непосредственно следуют
соотношения
Поэтому в базпсе векторов ет матрицы операторов Jq имеют следующий вид:
Это согласуется с соотношениями (7.40) при / = 1.
В качестве второго примера рассмотрим шестимерное пространство всех
однородных квадратичных функций, введенное в гл. 3, § 2, п. Г. Оно
инвариантно относительно любых поворотов, так как при вращении степень
однородного полинома не меняется. Функция х2-\-у2-\-г2 инвариантна.
Значит, она порождает представление D(0). Оставшиеся пять функций
образуют базис представления Dl2). Это можно показать, вычислив характер
представления или прямо построив эти функции, как это делается ниже.
Взяв выражение (7.21) для оператора Xz и проделав в нем циклическую
перестановку индексов для двух других операторов, мы получим явные
дифференциальные
^Х^Х Ф
Путем замены Jq = iXq получаем
Jzei-. 0lt 1г(r)о - Ф 1- (r)-li
J+e1 = 0, J+e0 = 2'^e1, J+e.j = 2'/*e0,
¦1_е1 = 2'/ю0, J_e0 = 21/2e_1, J_e_! = 0.
J
J
0 /2 0,
(7.46)
198
Глава 7
выражения для инфинитезимальных операторов
Затем построим повышающий и понижающий операторы
j-=К-- Ч/=-2 [к-1 h) + (*~:iy) Ш ¦
Из тождества
(s+i|)(I + "> = ° <7-47)
следует, что функция
ф2 = (x-\-iy)2 = (х2- г/2) + 2ixy - r2 ехр (2гср)
отвечает старшему весу т = 2, так как 1+ф2 = 0 п Jzi|)2 = =2ф2-
Последовательно применяя понижающий оператор, построим функции 1
фг = у -1_ф2 = -2z (ж + гг/),
фи= (у) /V_il)1 = -2 (Т-- + у-- 2лй),
Ф_1 = 2z (ж -гг/), ф_2=(ж -гг/)2.
Нормировочные множители мы взяли из равенств (7.40). Пять этих функций
линейно-независимы. Вместе с инвариантной функцией ж2+г/2+г2 они
порождают шестимерное пространство квадратичных функций. Каждая функция
фт пропорциональна сферической функции Y$ (0, <р) с 2=2:
Фот = (32я/15)1/гг2К^) (0, ф).
Сферические функции удобнее всего определять именно таким способом. При
других значениях I обычно начинают с "функции (ж+й/);, которая, согласно
формуле (7.47), отвечает старшему весу. Затем последовательно приме-
Непрерывные группы и их представления
няют понижающий оператор. Тогда при правильном выборе нормировочных и
фазовых множителей получаются функции
для положительных чисел т, а также соотношение YLm = =(-1 )mY^*. В
частности, Y(0h = [{21+1)/Ая]1/'-Р1 (cos 0), где Pi - полином Лежандра.
Как мы покажем в § 5, сферическпе функции обладают тем свойством, что
произведения ф (r)=rlYin\> (0, ф) являются решениями уравнения Лапласа
у2ф=0 при любом целом числе I. Это свойство часто рассматривают как
определение сферических функций.
Преобразование сферических функций при вращении полезно записать в явном
виде. Если 0, ф - угловые координаты вектора г, а 0', ф' - угловые
координаты вектора R-1r. то на основании общих определений (4.2) и (4.8)
для преобразования функций получаем
Таким образом, сферическая функция, аргументами которой являются
