Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
последовательность векторов должна обрываться. Это происходит на том
шаге, когда в результате применения понижающего оператора получаем нуль.
Иначе говоря, при некотором целом t
= 0. (7.33)
Множество векторов
ву, 6y_L, •••, в(/.ил)
инвариантно относительно действия операторов J. и J_. Докажем, что оно
также инвариантно относительно действия оператора J+. Тогда это множество
векторов будет инвариантным относительно действия любого элемента группы
i/i3, и, следовательно, опо образует базис некоторого представления
группы ?Л3. Для доказательства инвариантности множества по отношению к
действию оператора J+ построим оператор
J* = j.j = J| + J* + ji.
В силу перестановочных соотношений (7.25) он удовлетворяет соотношениям
[Р, -У = 0
при q-x, у и z. Поэтому, согласно формуле (7.10), этот оператор является
инвариантом. Заметим, что оператор J2 можно выразить через повышающий п
понижающий операторы:
J*=4(J+J_+JJ + ) + J|.
Согласно соотношению (7.30), это выражение можно переписать в виде
I2 = 1-1+ +11 +1*1 (7.35а)
или
j2 = J+J_-)-J|- iz¦ (7.356)
¦190
Глава 7
Из соотношения (7.35а) и свойства (7.31) следует, что е;-- собственный
вектор оператора J2:
Реу = (J_J+ + j* + J,) е,- = / (/ +1) е,-.
Тогда в силу перестановочного соотношения
[i3, J_] = o
мы для любого вектора ет из последовательности (7.34) получаем
J2em = 7 (7 +1) em. (7.36)
Теперь из соотношений (7.32) и (7.356) вытекает инвариантность множества
(7.34) относительно действия оператора J + :
^ + ет = Am} + 1-Gm +1 =
= ^lm(J2-JI + JJem+1 =
= {7 (/ + !) - ((tm) + 1)2 + (^ + 1)}еи+1 =
= + m + -m)iem+i- (7.37)
Значит, повышающий оператор не дает каких-либо векторов, отличных от
векторов последовательности (7.34), которая была получена в результате
действия понижающего оператора на вектор ej. [Тот факт, что оператор /+
является повышающим, еще не гарантирует правильности данного вывода,
поскольку он может перевести вектор ет в новый вектор е'т+1, отличный от
вектора ет + 1из множества (7.34).] Вектор е;- должен быть единственным
вектором старшего веса среди векторов базиса пространства L, так как
иначе представление будет приводимым. Таким образом, неприводимые
представления группы должны обладать базисом, аналогичным
последовательности (7.34).
Отметим некоторые свойства неприводимого представления D. На основании
равенств (7.356) и (7.33) получаем
Jse/_t = (J+J-+J*-J*)e/-t = {(/-0a-(7-0}e/_t =
= (/-*) U - t - i)ej_t.
Сравнивая это равенство с равенством (7.36), находим, что (/-(/-^-
1)=/(/+1), т. е. (2/-?)(?+1)=0. Так как t - положительное целое число, мы
имеем 2j = t и число / может быть только либо целым, либо полуцелым.
Размер-
Непрерывные группы и их представления 191'
ность представления D равна теперь 2/4-1. Следовательно, неприводимые
представления группы 52 3 можно обозначать символом Dly), где / =О, V2,
1, 3/2, 2 п т. д., причем размерность этого представления равна 2/4-1, а
векторы базиса ет можно выбрать так, чтобы они преобразовались по
неприводимым представлениям Т1,л) подгруппы 5i2, где m=j, /-1, /-2, . .
., 1-/, -/. При сужении группы 52з на ее подгруппу 52 2 разложение
представления D(A можно записать в виде
Отметим, что полуцелые представления не периодичны на интервале 2я (§3,
п. А). Они встречаются лишь при описании спина в квантовой механике (гл.
8, § 4).
Теперь нужно сделать всего один шаг, чтобы вывести матрицы
инфинитезимальных операторов Jg в представлении D(A. Начнем с того, что
оператор Jz в базпсе векторов ет диагонален и его матричные элементы
даются равенством
Матричные элементы операторов J+ и J_ определяются по формулам (7.32) и
(7.37), стоит лишь найти нормировочные множители Ат. Для вычисления этих
множителей мы воспользуемся тем, что операторы J? эрмитовы п
Тогда из равенств (7.32) и (7.37) получаем \Ат|-2 = = (/+т+1) (/-т).
Отношения фазовых множителей векторов базиса не определяются ни условием
ортогональности, ни нормировкой, и в множители Ат можно ввести любое
комплексное число, равное по модулю единице. Обычно множители Ат считают
действительными и положительными, так что матричные элементы операторов
J± даются равенствами
D(5 = 2 T<m>.
m=-j
(7.38)
(7.39)
поэтому J/_=J + . Отсюда
(em> + = (^ + ея> e" + l) = (е/л + И
192
Глава 7
Такой выбор фазовых множителей называется "условием Кондона -• Шортлп", п
отношения фазовых множителей всех 2/ + 1 векторов базиса определяются
этим условием однозначно.
Можно показать, что множество представлений D^'1 полно, причем в случае
однозначной функции можно обойтись лишь целыми числами /:
у: ч>,". (7.41)
/ = 0 т = - /
где / - целое число, а каждый член разложения преобразуется, как иг-я
строка представления D^].
Построение матриц D(Jl>,in(ax, ау, аг) конечных вращений с параметрами
ах, ау, аг - это сложная алгебраическая процедура. Мы ее отложим до т. 2,
гл. 20, § 5. Матричный элемент ЮЦ1т обычно представляется в виде функции
трех углов Эйлера, а не параметров ах, ау и аг. Считаем долгом
