Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эллиот Дж. -> "Симметрия в физике Том 1" -> 61

Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.

Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике Том 1 — М.: Мир, 2001. — 364 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyavfiziket12001.djvu
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 122 >> Следующая

углового момента, с которыми читатель, возможно, познакомился при
изучении квантовой механики. Многие алгебраические выводы данного пункта
параграфа имеют соответствующие параллели в теории углового момента; в
частности, это относится к анализу структуры неприводимых представлений.
Инфинитезимальные операторы Xq антиэрмитовы (§ 2). Поэтому для удобства
можно вынести множитель i = = (-1)72, приняв обозначение Jq = iXq. Под
инфините-зимальным оператором мы будем понимать как оператор Xq, так и
оператор Jq. Надеемся, что это не приведет к какому-либо недоразумению.
Операторы Jq эрмитовы и удовлетворяют следующим перестановочным
соотношениям:
(7.24)
[Хх, Ху] г = е, х (е" X г)-еу х (е* X г) = хеу - уех =
= (егхг) = Х^г.
[Хх, Ху] = Х2, [Ху, Х,] = Х" [Хг, Х,] = Ху (7.25)
[}х, Jy] = iJz, [Jу, J2\ = HX, [Jz, JJ = *V (7.26)
Непрерывные группы и их представления
187
Эти соотношения совпадают с перестановочными соотношениями для операторов
углового момента, разделенных на число Й. В § 3 мы доказали, что
собственные значения оператора Xz равны -im; поэтому собственными
значениями оператора Jz будут числа т. В дальнейшем нам будет удобнее
вместо самих операторов }х и }у рассматривать их линейные комбинации
J± = J x±Uy. (7.27)
Преимущество такой замены - в перестановочных соотношениях операторов J±
с оператором Jz:
[Jz> J±] = My =t ±(J* ± = ± J±- (7.28)
Из этих перестановочных соотношений следует, что если функция ф(тте) есть
собственный вектор оператора Jz, принадлежащий представлению Т(т) группы
oR 2, то функции 1±ф(??г) принадлежат представлениям T(m±1) и,
следовательно, операторы J± преобразуются по представлениям Т^1);
К ^±Ф ("1)} = (J±J* ± J±) Ф (т) = J± (Jz ± 1) Ф (т) =
= J± (т ± 1) ф (т) = (т ± 1) Д^ф (тп)}. (7.29)
Оператор J+ называется "повышающим", а оператор }_ - "понижающим", так
как первый увеличивает, а второй уменьшает собственное значение оператора
Jz на единицу. Заметим, что данное свойство является следствием только
перестановочных соотношений, а потому оно справедливо для
инфинитезимальных операторов в любом представлении группы <%3.
Б. Неприводимые представления
Для группы Э13 нам легко удалось доказать, что неприводимые представления
нумеруются целыми числами т п матричный элемент представления равен ехр
(-inia). Простота доказательства была следствием абелевости группы М 2 и
наличия единственного инфинитези-мального оператора. В общем случае
группы обладают целым набором инфинитезимальных операторов Хд, а свойства
неприводимых представлений определяются перестановочными соотношениями
(7.7) для операторов Хд. Для группы Мз эти соотношения даются равенствами
188
Глава 7
(7.25) илн, что эквивалентно, соотношениями (7.28) и равенством
[J + ,J-] = [J* + *V Jx-iJy] = 2i3. (7.30)
В данном пункте параграфа мы постараемся вычислить размерности
неприводимых представлений группы 52 3 и найти способ нумерации этих
представлений. Мы также вычислим матричные элементы пнфинптезимальных
операторов в каждом неприводимом представленип. Пусть D - неприводимое
представление группы 523 в векторном пространстве L. (Неприводимые
представления группы 52з обычно обозначают буквой D, а не буквой Т,
которой обозначают представления произвольной группы.) Выберем базис, в
котором нпфинитезимальный оператор J, диагоналей. Векторы базиса ет имеют
индекс т, соответствующий собственному значению т, оператора Jz, т. е.
неприводимому представлению Ъп1'> группы 52 2, которому они принадлежат.
(Векторы базиса пространства представления ет, где т - целое число, не
нужно путать с тремя единичными векторами еж, с,,, ez в обычном
физическом пространстве, которые рассматривались в п. А.)
На данном этапе представляется возможным, что у нескольких линейно-
незавпсимьгх векторов базиса окажутся одинаковые индексы т. Но в
дальнейшем мы убедимся, что этого не происходит и одного индекса т
достаточно, чтобы различать между собой векторы базиса неприводимого
нредставления. Обозначим через / максимальное значение индекса т для
векторов базиса представления D. Пусть e.j - вектор базиса с индексом m-
j. Он называется вектором "-старшего веса". Вектор еу должен
удовлетворять условию
J+e/ = 0, (7.31)
так как иначе новый вектор J + ey "имел бы вес больший, чем вес вектора
е;-. Последовательно действуя на вектор понижающим оператором J_,
построим последовательность нормированных векторов:
e/-i= ^ y_iJ_ey,
е/_2 = А/_2 (7.32)
еу_3 = A/_sJ_e/_2 и т, д.
Коэффициенты Ат, которые еще не вычислены, вводятся для нормпровки
векторов ет, причем вектор еу считается
Непрерывные группы и их представления
нормированным. Все векторы данной последовательности имеют разные индексы
т. Поэтому они линейно независимы и взаимно ортогональны. Векторное
пространство L должно быть инвариантным отпоептелыю групповых
преобразований, и, следовательно, все векторы последовательности должны
принадлежать пространству L. Если размерность пространства L конечна, то
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed