Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
- 2 а
;^ф(г, ф) +--------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------
-----------------------------
При малых углах а этот оператор можно записать в виде T(Rz(a))~l-а(д/дф).
Значит, в этом примере инфините-зимальным оператором служит
дифференциальный оператор
(7-2°)
В самом деле, ряд Тэйлора представляет собой экспоненциальный ряд для
дифференциального оператора <?/<9ф, т. е. T(Rz(a))=exp[-а(д!дф)], что
снова согласуется с равенством (7.6). Связь с угловым моментом в
квантовой механике уже установлена ранее [формула (5.19)]:
где 1г ницах Тг).
Х=-- -=- г (гхр)г/7г.= - Пг, (7.21)
- оператор z-компоненты углового момента (в еди-
184
Глава 7
Рассматривая второй член разложения выражения (7.12) при малых углах а,
убеждаемся в том, что для неприводимого представления Т(т) группы ?7t2
матричный элемент инфинитезимального оператора X равен просто -im.
Действительно, если функция ф удовлетворяет уравнению Хф =- i/пф, то она
должна преобразоваться по неприводимому представлению Т(т) группы 5?.2.
Относительно присоединения к группе кл2 несобственных элементов
(отражений п инверсий) см. гл. I1, § 6.
§ 4. ГРУППА 5?а
Вращение в трехмерном пространстве обычно обозначают через Rk("), где а -
угол поворота (О^а^я), a к - единичный вектор, направленный вдоль оси
вращения (гл. 2, § 2, пример 9; гл. 3, § 8). Вращение зависит от трех
параметров: угла поворота а и двух сферических углов вектора к. Но в
некоторых отношениях проще пользоваться тремя другими параметрами: ах =
акх, a,t = aky, az = akz, где kq - это трп составляющие вектора к в
какой-лпбо фиксированной системе координат. В связи с этим вместо
обозначения Rk (а) мы введем обозначение R(a).
Элементарные геометрические рассуждения показывают, что при операции
вращения произвольный вектор г преобразуется в соответствии с равенством
Rk (а) г = cos or-f(l - cose) (r-k)k-fsiii a (kxr).
Отсюда сразу же получаем матрицу преобразования Rk (а) в декартовом
базисе. Например:
[Rk (a)]*.v = cos а + (1 -cos a) k2x,
[Rk(a)]yx=(l - cosa)kxky + kzsma и т. д.
Преобразование вращения сохраняет как длины, так и углы между векторами.
Значит, вращение сохраняет скалярное произведение любых двух векторов г*
и г2. Следовательно, если мы возьмем векторы r(=Rri и т'2 = =Rr2, то (гл.
3, §5) (r(, r()=(Rra, Rrj)=(r2, R+Rrj), т. е. матрица R унитарна (R+R =
l) и модуль ее определителя равен единице.
Поскольку в обычном декартовом базисе матричные элементы матрицы R
действительны, то сама матрица ортогональна и ее определитель равен ±1.
Можно даже,
Непрерывные группы и их представления
185
выбрав какой-лпбо ортонормальный базис, определить вращения как множество
ортогональных Зх 3-матриц с определителем +1. Так как определитель
тождественного преобразования равен +1, то в сплу непрерывности группы
,:Л3 определители всех матриц вращений должны быть равны +1. С
геометрической точки зрения матрицы с определителем -1 также играют
определенную роль. Заметим, что матрица I преобразования инверсии,
которое меняет знаки всех векторов, имеет впд
п, следовательно, ее определитель равен -1. Таким образом, ортогональные
матрицы с определителем, равным - 1, соответствуют произведениям вращений
на инверсию. Иногда для обозначения группы ,у1Я употребляется символ От,
указывающий, что речь идет о группе ортогональных преобразований
трехмерного пространства, определитель которых равеп +1. Символом же 03
обозначают группу всех ортогональных преобразований, включая инверсии.
Группа 03 совпадает с произведением ffisXS2 группы вращений Э13 на группу
инверсий S2- Отметим, что преобразования с определителем, равным -1, сами
по себе не образуют группу.
А. Пнфкпитсзпмальные операторы
Выражение (7.18) для поворота на малый угол вокруг оси z непосредственно
переносится на случай поворота Rk (я) на малый угол вокруг произвольной
оси к:
Rk(a)r = r-fa(kxr) =
где aq=akq. Данное выражение конкретизирует общую формулу для изменения
вектора г (с сохранением членов не выше первого порядка), которая следует
из равенства (7.4). Таким образом, три инфинитезимальных оператора,
соответствующие параметрам aq, геометрически представляются как
= r + a V Me<7Xr) = r + S°" (e</Xr), (7.22)
Q
(7.23)
186
Глава 7
Они соответствуют бесконечно малым поворотам вокруг осей х, у и z.
Значит, в базисе ех, еу, е2 матрицы пнфини-тезимальных операторов имеют
вид
На основании элементарных соотношений векторной алгебры можно для любого
вектора г показать, что
Отсюда получаем перестановочные соотношения для инфн-нитезимальных
операторов группы R3:
В силу уравнения (7.23) три оператора Хд образуют вектор, который при
вращениях преобразуется как вектор eq. Инфинитезимальные операторы группы
вращений связаны с операторами углового момента в квантовой механике
[формула (7.22)], и, следовательно, эти перестановочные соотношения
совпадают с перестановочными соотношениями для трех компонент вектора
