Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
равновесных позиций в молекуле весьма важно. Поэтому мы решим полностью
16
Глава 1
эту простую задачу. Система дифференциальных уравнений движения имеет вид
Мхг = - Ххг-X (хг + х2),
Мх2 = - Хх2-X {хг -f- х2),
что позволяет ввести новые координаты Qi=xt-\-xt и Q2=Xi-x2. Тогда,
складывая и вычитая два уравнения системы, найдем
MQ1^-3XQ1, MQ2 = - XQ2,
откуда видно, что в новых координатах Qt и Q2 мы имеем простые
гармонические колебания Qi~cos с частотами со1=(3Х/М)1!* и со
2=(Я/ЛТ)1/2. В исходных координатах Хх и х2 у нас будут суперпозиции этих
простых колебаний, поскольку Хх=г/2 (<?1+<?г) и Х2 = х/2(Qx-Q2)• Но-вые
координаты Qx, Q2 и соответствующие частоты обычно называют нормальными
координатами и нормальными частотами.
Заметим, что координата Qx оказывается четной, а Q2 - нечетной
относительно отражения. Если мы обозначим такое отражение буквой ст, то
gQx=Qx и aQ2=-Q2. Другими словами, новые координаты при отражении
преобразуются проще, чем исходные ж* и х2, и, кроме того, уравнения
движения, записанные в новых координатах, оказываются независимыми.
В более сложных задачах не всегда удается так легко разделить все
уравнения движения, но тем не менее, выбирая новые координаты, "проще"
преобразующиеся при симметрических операциях, можно существенно уменьшить
степень смешивания уравнений. Опять-таки, хотя из данного примера ясно,
что Qx и Q2 преобразуются простейшим возможным образом, для случаев более
сложной симметрии придется определить и исследовать само понятие
"простота". Это будет сделано в гл. 4. Например, для молекулы NH3,
содержащей 4 атома и имеющей в общей сложности 12 степеней свободы,
соображения симметрии позволяют в случае малых колебаний уменьшить число
связанных между собой уравнений движения от двенадцати до двух. Общие
принципы применения соображений симметрии в теории нормальных колебаний
будут рассмотрены в гл. 6 на примере колебаний молекул.
Введение
17
Г. Частица в трех измерениях в квантовой механике, сферическая симметрия
и вырождение
В квантовой механике энергетические уровни частицы, движущейся в поле со
сферически-симметричным потенциалом, являются вырожденными: однощи тощ же
энергии отвечают несколько независимых волновых функций. К таким системам
относится атом водорода, единственный электрон которого движется в
электростатическом поле протона. Попросту говоря, причина такого
вырождения заключается в том, что в отсутствие какого-либо выделенного
направления в пространстве энергия не может, очевидно, зависеть от
направления вектора углового момента. В квантовой механике отсутствие
такой зависимости выражается в вырождении. Если сферическая симметрия
нарушается, например, вследствие включения магнитного поля, то вырождение
"снимается" и возникает "мультиплет", состоящий из нескольких близко
расположенных уровней энергии, как, например, при зеема-новском
расщеплении.
Сферическую симметрию можно также нарушить, поместив атом во внешнее
поле, которое обладает симметрией относительно некоторых вращений, хотя
не является сферически-симметричным. В таком случае вырождение снимается
лишь частично. Подобные явления в атоме, находящемся в кристаллическом
поле, будут подробно рассмотрены в гл. 9.
Вырождение вследствие сферической симметрии с физической точки зрения
легко объяснить, рассматривая ориентацию вектора углового момента, но
существование вырождения характерно вообще для всякой симметрии.
Действительно, возьмем уравнение Шредингера Нф=?ф, где Н - оператор
Гамильтона, Е - энергия и ф - волновая функция. Выполним преобразование
координат, переводящее ф в ф' и Н в Н'; преобразовав обе части уравнения
Шредингера, будем иметь Н'ф'=?ф'. Энергия, будучи числовой величиной, не
изменяется при преобразовании. Теперь предположим, что гамильтониан Н'
инвариантен относительно преобразования, т. е. Н=Н'. Тогда Нф'=?ф', т. е.
ф'- собственная функция исходного гамильтониана, отвечающая той же
энергии, что и ф. Следовательно, если ф' не является с точностью до
18
Глава 1
постоянного множителя той же самой функцией, что и ф, мы имеем по меньшей
мере двукратное вырождение уровней с энергией Е. В гл. 5 мы увидим, как
(вне зависимости от точного вида гамильтониана) структура вырожденных
мультиплетов следует только из симметрии системы.
Д. Частица в одном измерении в квантовой механике, четность и правила
отбора
Рассмотрим с точки зрения квантовой механики движение частицы в одном
измерении под действием четного потенциала V(x) = V(~x). Вследствие такой
простейшей симметрии собственные функции гамильтониана оказываются либо
четными, либо нечетными функциями переменной х. В самом деле, если Нф
(ж)=?ф (х), то и Нф(-х) = =?ф(-х), как в п. "Г". Следовательно, ф(ж) и
ф(-х) отвечают одной и той же энергии, так что в предположении об
отсутствии вырождения эти две функции физически идентичны. Следовательно,
ф(-х)=сгр(х), где с - константа. Но это означает, что ф(ж)=сф(-х), а
