Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
экспоненциальные функции угла вращения а. Коэффициент Т' (0) может быть
любым, но представление будет непрерывным, т. е. будет удовлетворять
равенству Т(а)=Т(а+2л), лишь в случае, когда коэффициент Т'{0) есть целое
число, умноженное на мнимую единицу. Обычно вводят целое (положительное
или отрицательное) число m=iT'(0). Тогда непрерывные неприводимые
представления группы можно записать в виде
T(m) (а) = exp (- ima). (7.12)
180
Глава 7
Целые чпсла т-0, ±1, ±2, . . . нумеруют представления. Ясно, что такие
представления унитарны. Вектор, преобразующийся по неприводимому
представлению Т1га), обозначается через ет и удовлетворяет уравнению Т
(а)ет ==ехр (-ima)em.
Заметим, что, рассматривая те=±1/2, ±3/2, . .
можно построить унитарные представления, непрерывные па расширенной
области значений 0^а<4л. Эти представления будут двузначны в обычной
области значений 0-Тщ<2л. В гл. 8, § 4 мы убедимся, что такие двузначные
представления необходимы для описания спина в квантовой механике (см.
также § 6).
Б. Характер
В случае одномерных представлений характер совпадает с самим
представлением, а поскольку каждый элемент совпадает с классом своих
сопряженных элементов, характер равен
у}т)==Тш {а) = охр ( - Una), (7.13)
г. е. является непрерывной функцией параметра а.
Ортогональность
Соотношение ортогональности характеров, которое в случае конечной группы
давалось формулами (4.25), теперь записывается в интегральном виде:
2л 2Я
\ /Ул)у}'п')* da = \ ехр [га (m'-rn)]da=s2n6m>m. (7.14)
.'--О о
Такой выбор интеграла взамен суммы по элементам конечной группы очевиден,
но мы вернемся к данному вопросу в т. 2, приложение 4, § 3. Весовая
функция р(а) (в обозначениях § 1) выбрана единичной. "Объем" 2л, который
появился в соотношении (7.14), входит вместо чпсла g элементов группы в
соотношении (4.25).
Непрерывные группы и их представления
181
В. Произведение представлении
Характером произведения двух представлений T(mi> п Т<,п*) будет просто
функция ехр[-I (т1-гт2)а\, которая является характером представления
TO'u+m.p Таким образом, мы можем написать довольно очевидную формулу
Т(шД0Т(ш,) (7_15^
Г. Примеры базисных векторов
1. Рассмотрим единичные векторы ех п еу, направленные вдоль осей х п
у. Пусть - группа вращений относительно осп г. Тогда, как и в
гл. 3, § 8, н. А, получаем
R., (a) еЛ = cos аах -J- sin аеу,
Rz (а) еу~ -sin аех -j-cos аеу,
т. е.
R* (а) (е., ± i&y) = exp (=F ia) (ex ± iey). (7.16)
Это означает, что вектор ex-\-iey преобразуется по неприводимому
представлению с индексом т- 1, а вектор ес_ге7 преобразуется по
неприводимому представлению с индексом те = -1. Заметим, что для
получения неприводимых представлений пришлось вводить комплексные
коэффициенты. На основании геометрических соображений легко оеднться в
том, что в аэу-плоскости не существует пектооа с действительными
коэффициентами, который в результате произвольного вращения относительно
оси z просто приобретал бы числовой множитель.
2. Далее рассмотрим на ху-плоскостп функции ф(г, ср), которые будем
считать функциями полярных координат лишь для удобства. Как и в гл. 3, §
8, п. Д, пользуясь общим определением (3.37) индуцированного
преобразования функций, получаем
Т(МД) 'ф('й сг)=Ф0'> (р -а). (7.-17)
Значит, функция вида ф(г, ф)=ф(г)ехр (йжр) преобразуется по представлению
Т('л):
I (Rz (а)) ехр(йнф) = exp[i?n(cp - a)] = exp (- ima) exp (imф).
182
Глава 7
Следовательно, разложение произвольной функции в комплексный ряд Фурье
есть разложение ее на компоненты, каждая пз которых преобразуется по
определенному неприводимому представлению Т(ст) группы 5?2.
Д. Инфинитезимальные операторы
Построим теперь для рассмотренных примеров^единст-венный
инфинитезимальный оператор группы М2- Начнем с того, что матрица
оператора Rz(a) имеет в пространстве векторов ех п еу вид (гл. 3, § 8, п.
А):
При малых углах а эта матрица приблизительно равна
Таким образом, для матрицы инфинитезимального оператора получаем
выражение
На основании равенства Х2 = - 1 можно убедиться в справедливости
соотношения (7.6) для этого примера:
СО
Ф)= 2 Фи(г)ехр(шгф),
где
2я
= ^г' Ф)ехр( -шнр)с?ф
О
/cos а -sin а \^sm a cos а
л
ехраХ = 1 + аХ +уа2Х2-1-2а3Х3 + 2й4Х4+ _ _ _
Непрерывные группы и их представления 183
Я! Г/
Геометрически очевидно, что преобразование вектора г на х, (/-плоскости
при повороте Rz(a) относительно оси z в первом приближении эквивалентно
прибавлению к нему вектора длиной air), направленного перпендикулярно
вектору г (рис. 7.1). Значит, при малых углах а имеем
Rz(fl)r"r + a(ezxr), (7-18)
где е2 - единичный вектор, направленный по оси z. Поэтому мы можем
написать для оператора Rz выражение
R2(e)"l+a (егх. Рис. 7.1.
Следовательно, для примера 1 из п. Гинфинитезимальный оператор равен
X = ег х. (7.19)
Инфинитезимальный оператор на пространстве функций примера 2 можно найти,
разложив правую часть равенства (7.17) в ряд Тэйлора:
Т(К*(а)Жг, ф) = Ф(г, ф) -я|-ф(г, ф) +
