Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
для сомножителей:
Т (а) Т (Ь) " (1 + 2 аЛ) (! + 2 &Л>) "1 + 2 К + Ьа) Хд
Непрерывные группы и их представления
177
при малых параметрах а и Ь. Но в произведении Т (а)Т (Ь) Т-1 (а) Т-1 (Ь)
отсутствуют все члены первого порядка, хотя само произведение но является
единицей. В самом деле,
T(a)T(b)T-1(a)T-1(b)"l + 2 aqbp[Xr Х,] +члены
а, р
порядка > 2. (7.8)
Из групповых свойств следует, что
Т (а) Т (Ь) Т-1 (а) Т'1 (Ь) = Т (с) ^ 1 + 2 ctXt
для некоторых параметров с. Сравнивая это выражение с предыдущим,
заключаем, что параметры е должны быть порядка ab, а коммутатор \ХЦ, Х_]
должен быть линейной комбинацией операторов Xt. Следовательно, мы
приходим к равенству (7.7), согласпо которому коммутатор любых двух
инфшштезимальных операторов должен быть линейной комбинацией
инфинитезималышх операторов. Можно также доказать, что структурные
константы clqp полностью определяются законом умножения элементов группы,
т. е. структурные константы не зависят от выбора представления.
В силу сформулированных теорем исследование непрерывных групп проще
исследования конечных групп, поскольку можно рассматривать лишь алгебру
инфпните-зимальиых операторов. Таблица умножения теперь заменяется
набором структурных констант.
Из этих теорем следует также, что если подмножество инфинитезимальных
операторов некоторой группы S замкнуто относительно операции
коммутирования, т. е. если коммутатор двух элементов подмножества
представляется линейной комбинацией элементов этого подмножества, то это
подмножество есть множество инфинитезимальных операторов некоторой
подгруппы группы Ъ.
Говорят, что набор функций~ф)-аф преобразуется по неприводимому
представлению Т<а),'если преобразованные функции задаются соотношением
(4.37):
I *
где Т<а) - обычная матрица представления. Для, непрерывной группы
достаточно показать только, что^беско-
178
Глава 7
нечно малые измепения функций ф;а) задаются матрицами инфинитезимальных
операторов. Так, подставляя Т= - 1в условие (4.37), получаем для каждого
<?
индекса q
= (7.9)
где (Х3))"> - матричные элементы оператора Хд в представлении Т(а>. В
частности, если функция ср инвариантна, то она преобразуется по
тривиальному представлению, для которого Т=1. Тогда для всех индексов q
ин-финитезимальные операторы равны нулю, т. е. Х9ср=0.
Аналогично для того, чтобы доказать, что множество операторов S(a)
преобразуется по представлению Т(0О, мы должны показать, что при любом
индексе q бесконечно малое изменение операторов задается теми же самыми
известными матрицами. На основании формулы (4.56) при малых параметрах ад
получаем
S' = TST-1" (1 + ^адХд) S (1 - 2 a,*,) "S + 2 [х" S].
Таким образом, бесконечно малое изменение операторов определяется
коммутатором. Следовательно, условие, аналогичное (7.9), записывается для
любого индекса q в виде
[Х" S(")]=2(X,)(fS("). (7.10)
i
Для определения трансформационных свойств функций и операторов обычно
гораздо проще пользоваться уравнениями (7.9) и (7.10), чем уравнениями
(4.37) и (4.56), которые связаны с конечными преобразованиями. Например,
инвариантный оператор S должен удовлетворять уравнению [Xg, S] =0 при
любом индексе q. Иначе говоря, оператор S коммутирует со всеми
инфинитезимальными операторами.
Инфинитезимальные операторы для произведения представлений имеют вид
суммы инфинитезимальных операторов сомножителей. В случае
инфинитезимальных приращений матричный элемент (4.41) приобретает вид
W (") = {б<* + 14 РГЦ {8Л +.|Ч (Xf Ц =
- ач { Wqa))ik bJt + (Х^13'),-;
Непрерывные группы и их представления
179-
Следовательно, в базисе произведений функций фд.а> и. фУ3', которые мы
рассматривали в гл. 4, § 17, любой инфи-нитезимальный оператор можно
записать в форме
Х? = Х? (1) + Х? (2). (7.11)
Здесь Xq (1) - произведение инфинитезимального оператора Х? для фйа) на
единичный оператор для ф)р), а Хд (2) - произведение единичного оператора
для фйа> на инфинитезимальный оператор Хд для ф)|3).
§ 3. ГРУППА
Группа 5?2 - это абелева группа, единственный параметр которой, угол
вращения а, изменяется в пределах 0^а<2л. Он аддитивен, т. е. если R(c) =
R(a) R(6), то c=a-\-b (или с=а+6-2л при с^2я). Пока мы рассматриваем
периодические функции, недоразумений со слагаемыми, кратными 2л, не
возникает.
А. Неприводимые представления
В силу абелевости группы Э12 ее неприводимые представления одномерны (гл.
4, § 8). Следовательно, чтобы найти возможные неприводимые представления
группы Ы2, нужно найти функции Т(а), удовлетворяющие соотношениям Т (а-\-
Ь) = Т (а)Т (6) и Г(0) = 1. Дифференцируя первое из них по параметру 6
при фиксированном параметре а, получаем уравнение Т' (а-\-Ъ) = Т {а)Т'
(6), где Т' - первая производная функции Т. Затем, полагая параметр 6=0,
получаем уравнение Т'(а) - Т {а)Т'{0). Это простое дифференциальное
уравнение для функции Т (а) имеет решение Т (а)=ехр[а7,/ (0)], если Г(0)
= 1. Значит, неприводимые представления группы Э12 представляют собой
