Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
являющиеся их следствиями, будут теперь справедливы и для компактных
непрерывных групп. В частности, определения таких понятий, как
представление, неприводимость и характер, остаются без изменения.
Матричные элементы и характер представления являются теперь непрерывными
функциями T\c--)(ai, а2, . . ., ar), %{а) (ai, а2, . . ., аг) параметров
группы. Для непрерывной группы не существует больше конечной таблицы
характеров. Поскольку число классов сопряженных элементов непрерывной
группы бесконечно, эта таблица и не может быть конечной, а кроме того,
подобно самим элементам группы, классы сопряженных элементов распределены
непрерывно. Число неэквивалентных неприводимых представлений теперь тоже
бесконечно, хотя размерность неприводимых представлений, как правило,
конечна х).
Бесконечное число неприводимых представлений означает, что разложение
произвольной функции по функциям, принадлежащим неприводимым
представлениям, может содержать бесконечное число членов. Таким
разложением является, например, комплексный ряд Фурье
4- СО
/(ф) = 2 ст exp (imcp)
т=- се
для произвольной функции / угла ср, поскольку, как мы убедимся в § 3,
каждая функция exp (im ср) преобразуется по одномерному неприводимому
представлению группы SH2.
§ 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Непрерывная группа размерности г с параметрами а1: а2, . . ., аг имеет
бесконечное число элементов, но почти все свойства группы определяются
конечным числом операторов, называемых инфинитезимальными. Для удобства
обозначим множество параметров ах, а2, . . ., аг символом а. Рассмотрим
представление Т(а) группы Ъ в пространстве L. Пусть параметры выбраны
таким обра-
J) В случае непрерывной компактной группы все неприводимые представления
имеют конечную размерность.- Прим. перев.
Непрерывные группы и их представления 175
зом, что единичный элемент имеет все параметры ач -О,
Т(0, 0, . .0) = 1. (7.3)
Если все параметры aq малы, то с точностью до членов первого порядка по
этим параметрам
Т(а)"1+2"Л- (7-4)
<7=1
где Xq - некоторые фиксированные линейные операторы, не зависящие от
параметров aq. Эти операторы Xq называются инфинитезимальными операторами
представления Т, и из равенства (7.4) они определяются как частные
производные:
Х" = lim {Т (0, 0, ..., а", ..., 0) -1}/а#= Г^-Т(а)
а -* 0 L <7
а = 0
(7.5)
Вместо того чтобы излагать свойства этих инфинитези-мальных операторов в
общем случае, рассмотрим сначала частный случай одпопараметрической
группы % с законом умножения G(c) = G(a)G(b), где с=а+Ь. Иначе говоря,
параметр аддитивен, так же как- в группе 5?2-Тогда мы можем записать
оператор Т (а) в виде Т (а) = ~{Т(а/п)}п, где п - целое число. При
больших п параметр а!п мал, и в пределе при я->оо нам достаточно
сохранить в формуле (7.4) лишь члены нулевого и первого порядка. Тогда,
пользуясь определением экспоненциальной функции, получаем
Т (а) = lim {1 + (а/я) Х}" = ехр {аХ}, (7.6)
п ->¦ со
где экспонента определяется как обычный бесконечный
СО
ряд: exp (аХ)==^апХ"/п1.
п=0
сДЭтот пример показывает, каким образом можно построить конечный оператор
Т (а) из инфинитезимального оператора X. Таким же путем можно доказать,
что в общем случае оператор Т (а) полностью определяется параметрами aq и
инфинитезимальными операторами Xq. Основные свойства инфинитезимальных
операторов выражены в трех теоремах, которые мы приведем ниже без до-
176
Глава 7
казательств. Но сначала мы докажем простое утверждение о том, что если
представление Т унитарно, то операторы Xq антиэрмитовы, т. е. Х+ --Хч.
Оно сразу же следует из равенства (7.4). В самом деле, поскольку
параметры aq действительны, из условия унитарности при малых значениях
параметров ач получаем
1 = Т (a) Tt (а) " ( 1 + S aqX^ (l+24 Xj) "
"{l+24(X,+Xj)|. (7.7)
Приравнивая член первого порядка нулю, получаем Xj = -Xg. Если разделить
операторы Xq на число t==(_l)'/2, как эт0 иногда делается, то они станут
эрмитовыми.
Теорема 1. Если два представления группы Ъ имеют одинаковые
инфинитезимальные операторы, то этп представления эквивалентны.
Теорема 2. Для любого представления Т группы Ъ множество
инфипитезимальных операторов Х? удовлетворяет перестановочным
соотношениям
[Х?1 X,]=Sc'"Xtl (7.7)
где числовые коэффициенты с(чр, называемые структурными константами,
одинаковы для всех представлений Т группы
Теорема 3. Любой набор операторов Хд, определенных в пространстве L,
образует множество инфинитезималь-ных операторов представления Т группы ?
в пространстве L, если операторы удовлетворяют перестановочным
соотношениям (7.7).
Смысл теоремы 1 заключается в том, что представление полностью
определяется своими инфинитезимальньши операторами. Этот результат
является обобщением результата (7.6) для одиопараметрической группы.
Вторая теорема дает "закон умножения" для инфините-зимальпых операторов.
В общем случаещнфинитезималь-ный оператор, соответствующий нроизведению
двух элементов группы, совпадает с суммой инфипитезимальных операторов
