Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Найдя %<3W\ мы можем теперь по формуле (6.25) вычислить коэффициенты та в
формуле (6.24). Но сначала для удобства вычтем из %<ад' вклад шести
нормальных мод с нулевой частотой, которые не являются колебаниями и
соответствуют трансляции и повороту молекулы в целом, без относительного
движения атомов. При таких "колебаниях" молекула перемещается как жесткое
тело и в качестве трансляционных составляющих можно выбрать смещения х, у
и z вдоль осей декартовых координат. При вращении они, очевидно,
преобразуются в соответствии с векторным представлением и имеют характеры
%<3N> (R (0)) == N д(0) (2 cos 0 + 1).
X(3/V) (S (0)) = iVso) (2 cos 0 - 1),
(
COS0 -sin в О sin0 cos 0 О , 0 0-1
Хтрансл (R (0)) = (2 COS 0 + 1), Хтранол (S (0)) == (2 COS 0 1).
Молекулярные колебания
159
Три вращательные моды также преобразуются при поворотах подобно вектору,
но они являются четными относительно инверсии, т. е. представляют собой
компоненты псевдовектора (гл. 5, § 4). В доказательство этого утверждения
отметим (гл. 7, § 4, п. А), что смещение d(г) произвольной точки г,
обусловленное поворотом на малый угол, задаваемым вектором а, равно аХг.
Если <Г есть смещение в результате поворота R вектора d на конечный угол,
то из геометрических соображений ясно, что d'(r)=R(aX XR-1r)=RaXr и,
следовательно, смещение преобразуется подобно вектору а. Аналогичным
образом, если d есть смещение, полученное из d инверсией I, то d=l(aX
Xlr)=aXr, т. е. d - действительно псевдовектор. Таким образом, для
собственных вращений характер трех вращательных мод тоже является
характером векторного представления, тогда как в случае несобственного
элемента меняется знак:
Хвращ (R(6)) = (2COS0H-1), Хвращ (S (0)) = - (2 COS 0 - 1).
Вычитая эти величины из у_(зЛГ), получаем характер для оставшихся мод с
ненулевой частотой %K0Ji-%^N)-Хтрансл- Хвращ*
Хкол (R (0)) = (Nд(в) - 2) (2 cos 0 1), g
Хкол (S (0)) = AS(0) (2 cos 0 - 1).
Этот результат мы используем для классификации нор-гальных колебаний
молекул воды и аммиака.
А. Молекула воды
Молекула воды НгО имеет геометрию, показанную на рис. 6.1, и группу
симметрии (подробнее см. гл. 9). Величина "валентного угла" 2ф
несущественна в вопросе симметрии, но известно, что он составляет около
105°. Группа С2" имеет четыре элемента симметрии: единичный Е, двойную
ось вращения С2. лежащую в плоскости молекулы и проходящую через атом
кислорода, отражение в5Гплоскости молекулы*'av и отражение o'v в
плоскости, перпендикулярной плоскости молекулы и проходящей пр
1(50
Глава 6
биссектрисе валентного угла. Каждый элемент сам по себе образует класс.
По формуле (6.28) можно вычислить характеры колебаний:
Е (собств., 0 = 0, Ni; - 3) %кол(Е) = 3,
С2 (собств., 0 = 180°, Nc =i) Хкол(С2) = 1,
ov (несобств., 0 = 0, yV ^ = 3) ст'(несобств., 0 = 0, N 1)
Хкол (Gv) - 3, Хкол (o'd) = 1 •
Таблица 6.1
C2V Е С2 °v °v
1 1 1 1
.4 2 1 1 -1 -1
вх 1 -1 1 -1
В-, ] -1 -1 1
Хкол 3 1 3 i=2A1Q)B1
Эти характеры собраны в табл. 6.1; разложение в этом случае очевидное
(обозначение неприводимых представлений обычное; см. приложение 1). Мы
заключаем, что имеются две невырожденные нормальные моды, преобразующиеся
по неприводимому представлению Аг, и одна невырожденная, преобразующаяся
по представлению Вг.
Б. Молекула аммиака
Молекула аммиака NH3 неплоская: три атома водорода образуют
равностороннее основание тетраэдра (рис. 6.2). Собственная группа
симметрии молекулы - группа С3о (гл. 9, § 3, п. Б). Как и в предыдущем
случае, величина валентного угла 2ф, равная приблизительно 108°, в
вопросах симметрии не важна. Плоскость трех атомов Н удобно считать
"горизонтальной". Шесть элементов группы распадаются па три класса:
единичный Е, два поворота вокруг тройной "вертикальной" оси, проходящей
через атом N, и отражения в трех вертикальных плоскостях, содержащих атом
N и один из атомов Н. Согласно формуле
Молекцлярные колебания
161
(6.28), характеры колебаний таковы:
Е (собств., 0 = 0, NЕ = 4) Хюл(Е) = б,
С3 (собств., 0 = 2л/3, jVC3 = 1) УкО1(С:!) = 0,
av (несобств., 0 = 0, N Cv = 2) ХколК) = 2.
Таблица 6.2
Е ОЭ Q <3
Аг 1 1 1
а2 1 1 -1
Е 2 - 1 0
Хкол 0 ; 1 2 =¦_ 2Л t ф 2Е
Далее из таблицы характеров (табл. G.2) или по формуле (6.25) можно
найти, что имеются две моды Аг и две двукратно вырожденные моды Е - всего
четыре разные частоты для шести нормальных колебаний. (Обозначение 2С3
показывает, что в классе, содержащем С3, имеются два элемента.
Обозначение Е общепринято для двумерных представлений; см. приложение 1.
Курсивное Е не следует путать с прямым Е, символом единичного элемента.)
§ 6. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ 00ЕРРЕТЛЛЁСКИЕ УРОВНИ!
II ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ
Классификация нормальных колебаний имеет прямое отношение к классической
задаче о колебаниях, так как она дает лам возможность найти вид
колебаний, руководствуясь только соображениями симметрии и не зная
точного вида потенциала. Подробно мы рассмотрим этот вопрос ь | 8. Здесь
же и в § 7 мы остановимся на роли, которую классификация нормальных мод
