Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эллиот Дж. -> "Симметрия в физике Том 1" -> 51

Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.

Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике Том 1 — М.: Мир, 2001. — 364 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyavfiziket12001.djvu
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 122 >> Следующая

Du = 2 aipDjfij = 2 bilajptj=b>l\xp. (6.22)
t. i i
Операция симметрии Ga, действуя на молекулу, преобразует смещение q в
новое смещение q'. В частности, каждый базисный вектор ег переводится в
новый вектор е[, и мы onpeflennMj преобразования Т (Ga), индуцированные в
ЗЛГ-мерпом пространстве операцией симметрии Ga, в соответствии с
равенством q' = 7'(Ga)q, где
е; = Т (GJ е; = 2 Т/i (Ga) Qj, (6.23)
/
а Ga - элемент группы симметрии Ъ. Скалярное произведение (q, q)=2-^i4i
вектора q самого на себя есть взве-
t
ш
Глава 6
шеняая сумма квадратов длин векторов смещения всех атомов и,
следовательно, не изменяется при действии'операций симметрии. Таким
образом, (q', q') = (q, q), так что преобразование Т (G J является
унитарным и действительным, а потому оно ортогонально. Поскольку же
потенциальная энергия при действии операций симметрии не изменяется,
оператор D инвариантен относительно преобразований T(GJ, т. е. D=TDT-1.
Теперь мы можем точно следовать рекомендациям, приведенным в гл. 5, § 3,
в связи с вырождением в квантовомеханическом случае, опираясь на аналогию
между равенствами (5.12) и (6.22). Кратко это сводится к следующему.
1. Если Up - нормальное смещение с частотой сор, то u' =Т (GJ Up тоже
есть нормальное смещение с частотой Юр, так как
Du; = DT(Ga)u/, = T (GJ Diip = co)fr (GJ u^co^.
2. Следовательно, набор нормальных смещений с одинаковой частотой
образует базис представления группы симметрии '§.
3. Таким образом, в отсутствие случайного вырождения каждой частоте можно
приписать индекс некоторого неприводимого представления Т(а) группы
и она будет состоять из sa линейно-независимых нормальных мод.
Между рассмотренной задачей классификации нормальных колебаний и задачей
классификации собственных функций квантовомеханического гамильтониана
имеется одно очень существенное различие. Общее число нормальных мод
конечно и равно 3N, тогда как число собственных функций в общем случае
бесконечно. Вычисляя характер
3./V-мерного представления всех смещений с использованием любого
подходящего базиса, мы можем пользоваться методами гл. 4, § 11 для его
приведения и, следовательно, классифицировать все нормальные моды
молекулы.
§ 5. КЛАССИФИКАЦИЯ НОРМАЛЬНЫХ МОД
Согласно формуле (6.23), З/У-мерное пространство всех возможных смещений
образует представление группы симметрии Обозначим это представление через
Т(зУУ).
Молекулярные квлеёания
Мы уже показали, что нормальные смещения с одинаковой нормальной частотой
образуют базис неприводимого представления Т<а) группы <§. Но так как ЗЖ-
мерное пространство всех смещений распадается на сумму подпространств,
соответствующих различным нормальным частотам, классификацию нормальных
частот можно найти, исследуя разложение
T<3,v> = 2maT<a> (0.24)
ОС
представления Т<зЛ,) на его неприводимые компоненты Т<ос) (гл. 4, § 11).
Если при некотором значении индекса a коэффициент нга> 1, то будет
наблюдаться тпа различных частот с одинаковым индексом а, каждая из
которых представляет набор sa линейно-независимых нормальных координат.
Приведение по формуле (6.24) легко осуществимо, если мы сможем найти
характер Хр W> представления Т<зЛ,) для каждого из классов %v группы Ъ.
Сколько раз каждое неприводимое представление будет появляться при
приведении, можно определить по формуле (4.28):
(0-25)
s р
Чтобы найти характер %(pN>, напишем равенство (6.23) в немного более
развернутой форме, обозначив базисные векторы ег символами егг, чтобы
можно было различать отдельные атомы ?=1,2, ... , IV и их декартовы
координаты i=x, у и z:
T(GJet,.= 2 7l?A(Ge)eri'. (6.26)
i'
В этом случае для любого элемента Ga в классе характер равен t-;;
XpN) = Xl3A0 (GJ = (GJ- (6.27)
t, i
Однако вклады в %(3N) дают лишь те атомы ?, которые остаются неподвижными
при действии операции Ga, так как если Ga переводит атом ? в ?', то
диагональный элемент T{tui в равенстве (6.26) равен нулю. Вклад в
характер Xp3N) отдельного атома ?, который остается неподвижным
158
Глмя'6
при действии Ga, равен но это есть просто
характер вращения Ga произвольного трехмерного вектора относительно
фиксированной точки (о его векторном представлении см. гл. 5, § 4). Если
Ga есть собственное вращение R(0) на угол 0, то его характер равен просто
2 cos 0 -т 1 (гл. 5, § 4), а если N^<e) есть число атомов, остающихся
неподвижными при действии R(0), то общее выражение для характера
приобретает вид
В случае несобственного вращения S (0), которое можно представить как
собственное вращение R (0) с последующим отражением ah в плоскости,
перпендикулярной оси R (0), характер определяется как
где ^5,0, - число атомов, остающихся неподвижными при действии оператора
S(0). В самом деле, рассмотрим несобственные вращения вокруг оси z. Легко
показать, что в базисе декартовых координат матрица несобственного
вращения имеет вид
где -1 появляется вследствие отражения oh. Характер этой операции равен
следу 2 cos 0-1 данной матрицы.
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed