Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
математический аппарат, которым пользуются физики при изучении симметрии.
Интересно проследить аналогию между применением дифференциального и
интегрального исчислений в клас-
Введение
13
сической механике и теории групп - в квантовой. Исторически открытие
законов Ньютона и изобретение дифференциального и интегрального
исчислений, датированные семнадцатым веком, примерно совпадают во
времени. Идеи теории групп возникли в математике еще в 1810 г., но
наиболее важная для исследования симметрии теория представлений получила
развитие лишь в 20-х годах нынешнего века. Именно в эти годы физики
создавали квантовую теорию. И действительно, важное значение симметрии
для квантовой механики было установлено очень скоро в классических
работах Вигнера (1931), Вейля (1928) и Ван-дер-Вердена (1932).
Всегда были приверженцы того мнения, что использовать теорию групп в
квантовой механике необязательно. В определенном смысле это верно,
поскольку теория групп сама построена из простейших алгебраических
действий Тем не менее затраты сил на изучение столь тонкого и сложного
аппарата, как теория групп, быстро окупаются, ибо она позволяет внести
красивую простоту и общность в исследование сложных квантовомеханических
систем. В конце концов дифференциальное и интегральное исчисления ведь
тоже можно считать необязательными для классической механики. Например,
движение по эллиптической орбите можно вывести из закона обратной
пропорциональности сил гравитационного притяжения квадрату расстояния
путем лишь геометрических рассуждений. И сам Ньютон первоначально
пользовался именно таким методом, но в настоящее время мы обосновываем
этот результат, решая дифференциальное уравнение. Заглядывая вперед,
очень интересно задуматься над тем, какие новые блестящие достижения
физики и математики возможны в результате их дальнейшего параллельного
развития.
§ 2. ПРИМЕРЫ ПРОЯВЛЕНИЯ СИММЕТРИИ
Л^Чтобы оживить интерес читателя, мы перечислим ниже ряд физических
систем, обладающих симметрией, и отметим их некоторые свойства,
являющиеся прямыми следствиями симметрии. Сначала приведем простейшие
примеры. Хотя в некоторых случаях мы можем связать симметрию со
свойствами, не прибегая к новым методам, это,
14
Глава 1
конечно, не всегда возможно. Целью данной книги является как раз общий
анализ следствий существования симметрии, и, лишь преодолев значительную
часть книги, читатель будет в состоянии понимать и предсказывать
поведение систем со сложной симметрией.
А. Классическая частица в одном измерении
Движение частицы с массой М в одном измерении в поле с потенциалом V(x)
описывается уравнением
Мх = - dV/dx. (1.1)
Предположим теперь, что V(х) - не зависящая от х константа, другими
словами, что потенциал инвариантен относительно трансляций. Тогда ясно,
что Мх=0. Интегрируя, получаем Мх=С, т. е. закон сохранения (постоянства)
импульса Мх.
Б. Классическая частица в двух измерениях
Движение частицы в двух измерениях определяется двумя уравнениями:
Мх = - dV/dx, Му = -dV/dy. (1.2)
Пусть теперь потенциал V(х, у) инвариантен относительно вращения вокруг
начала координат, т. е. если перейти от декартовых координат х, у к
полярным г и 0, то V (х, у) не зависит от полярного угла 0. В этом случае
3F/30=O. Однако
dV___d_xdV_ \dy_ffV___ dV_ . dV_
Ж 50 dx + 50 ~ду ~ У dx + X dy '
и, используя уравнения (1.2), получаем
^ = M (ух- ху) = М-^ (ух-ху),
т. е. инвариантность SF/<90=O означает постоянство выражения М (ух-ху) -
момента количества движения (или углового момента) относительно оси,
проходящей через начало координат перпендикулярно плоскости.
Если частица, движущаяся свободно в трех измерениях, находится в поле с
потенциалом, инвариантным от-
Введение
15
носительно поворотов вокруг любой оси, то аналогичные рассуждения
показывают, ч'то постоянна любая компонента углового момента. Другими
словами, в случае сфе-рически-симметричного потенциала сохраняются как
величина, так и направление углового момента.
В. Две классические частицы, соединенные пружинами
Две частицы одинаковой массы М связаны между собой, а также с
неподвижными опорами одинаковыми параллельньши пружинами с коэффициентом
упругости Я. Пусть длина ненагруженной пружины равна а и опоры
расположены на расстоянии За друг от друга. Обозначим смещения двух
частиц из их положений равновесия через хх и х2. Хотя общее смещение
(рис. 1.1) не обладает сим-
Л
1
I
J
I
I
I
X, | хг
I -"I ? j
Us-----------s~Us------------s-u------------
a a a
Рис. 1.1.
метрией, интуиция подсказывает, что система в некотором смысле
симметрична относительно средней линии. Действительно, кинетическая Т и
потенциальная V энергии,
Т = у ПОД + xt), V ~ +о:1+ (хг + *,)¦},
инвариантны относительно перестановки хх и х2 - преобразования координат
Хх и х2 при отражении относительно линии А В.
В данном случае следствия симметрии не столь существенны, однако
приложение общих результатов к колебаниям атомов относительно их
