Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эллиот Дж. -> "Симметрия в физике Том 1" -> 49

Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.

Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике Том 1 — М.: Мир, 2001. — 364 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyavfiziket12001.djvu
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 122 >> Следующая

составляющих молекулу, относительно их равновесных положений. При этом
атомы считаются точечными частицами, а функция потенциальной энергии,
определяющая их движение,- квадратичной относительно смещений из
положений равновесия. Равновесная конфигурация атомов обычно имеет
симметрию группы вращений и отражений, приводящих к взагшному обмену
идентичных атомов, и потенциальная энергия, как и кинетическая, является
инвариантом группы "'симметрии. Хотя размеры молекул достаточно малы, так
что
Рис. 6.1.
?
для описания этих систем необходима квантовая механика, удобнее сначала
получить классическое решение, рассматривая нормальные моды колебаний, а
затем выполнить квантование гамильтониана, |который 'разлагается очень
просто, если задача рассматривается в нормальных
Молекулярные колебания
149
координатах. Для классификации нормальных типов колебаний (нормальных
мод) по неприводимым представлениям групп симметрии используется теория
представлений, изложенная в гл. 4. Квантовомеханическое решение- отличный
пример применения общей теории симметрии в
N
Рис. 6.2.
квантовых системах, причем получаемыми правилами отбора определяется вид
инфракрасных спектров поглощения и спектров комбинационного рассеяния.
Для конкретности мы будем рассматривать молекулы Н20 и NH3, равновесные
конфигурации которых представлены на рис. 6.1 и 6.2.
§ 1. ГАРМОНИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Мы будем рассматривать N атомов молекулы как точечные частицы, движущиеся
в поле с потенциалом, который имеет минимум, когда они находятся в своих
равновесных положениях. Когда атомы смещаются из своих равновесных
положений, потенциальная энергия увеличивается, и при малых смещениях ее
можно представить в в виде разложения в ряд по степеням смещений
отдельных атомов. Для определения смещения отдельного атома требуется
задать три его компоненты в трех взаимно перпендикулярных направлениях х,
у и z; следовательно, для всей молекулы нужно задать 3N компонент.
Обозначим их через q1,q2,q3,q4, ... , q3N, где дг, q2 и q3 есть х-, у-
их-ком-поненты смещения первого атома, f4, }s и ?( - второго атома и т.
д. При разложении потенциальной энергии в ряд Тэйлора по qt линейные
члены должны исчезнуть, так как смещения qt изменяются от равновесных
позиций,
150
Глава 6
и первый ненулевой член имеет вид
+ (6-1)
г, 3
где В ij=(d2V/dqtdqj), a F" - потенциал в отсутствие смещений (его можно
принять равным нулю). Гармоническое приближение для описания колебаний
молекулы состоит в пренебрежении в разложении V членами более высокого
порядка, чем квадратичные, и потому применимо лишь в случае малых
смещений.
Таким образом, гамильтониан молекулы в гармоническом приближении можно
записать в виде
3 N 31V
I -2Bij<h4j, ¦ (6.2)
г --- 1 г, - 1
где Mt - масса частицы, связанная с компонентой смещения qt. Член,
соответствующий кинетической энергии, имеет здесь простую форму суммы
квадратов скоростей qt, тогда как в выражение для потенциальной энергии
входят перекрестные члены дд/7-. Решение задачи значительно упрощается
как в классической, так и в квантовой механике, если мы введем новые
координаты Qh путем преобразования
Qt = yiAlkQk,
h
которое выбирается так, чтобы в выражениях для Т и V исчезли перекрестные
члены и они приобрели простой вид
г=тЕ<?Ь ^=4Х>!<Л- (б.З)
к к
Это преобразование обычно выполняется в два приема. Сначала вводят
взвешенные координаты = i)'i~q-n такие, что выражение для кинетической
энергии приобретает простой вид Т=1/2Va". Тогда потенциальную энергию
г
можно записать в виде
М олгкуллрлнеАк*леёйнил
iSi
Потенция льной^энергии можно^придать требуемую диагональную форму, найдя
собственные ^векторы ЗАX X ЗА-матрицы Dij. Обозначим ее собственные
^значения через со| (/с=1, 2, ... , ЗА), а соответствующие собственные
векторы через ajh (j=1, 2, ... , 3А), так что
XiDUajk = (6.5)
Поскольку матрица Dtj симметрична, ее собственные векторы взаимно
ортогональны (гл. 3, § 6) и мы вправе нормировать их в соответствии с
равенством
2 ai kati - ^ki- (6.6)
Теперь введем новые координаты Qh путем преобразования
qiMil, = ai = HalkQil, (6.7)
ft
из которого в силу равенств (6.5) и (6.6) следует, что
y=-j 2j Dijap] = 2 Dt jaikajiQkQi -
i. i i, i. ft. i
2 ^aikanQkQi = ^^a%Ql * (, ft, / ^ ft
и
т = т
i i, k, I k
Таким образом, в результате преобразования
Ath = alkl{Mt)4' (6.8)
мы получаем простые выражения (6.3).
§ 2. КЛАССИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
Теперь нетрудно решить классические уравнения движения в форме уравнений
Лагранжа (т. 2, гл. 16, § 1, п. А)
где L=T-V.
Взяв для Т и V выражения (6.3), из уравнения (6.9) получаем Qk = - a>lQh'
Это означает, что новые коорди-
152 Глава 6
наты Qh являются независимыми и каждой из них соответствуют колебания
гармонического осциллятора вида
Qk = ckc°s{(i>kt + ek). (6.10)
Координаты Qk называются нормальными координатами системы. Исходные
координаты даются формулой
<7/= 2М,*с* cos (шА* + еЛ), (6.11)
k
где 6N констант ch и ch даются начальными условиями.
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed