Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
группа всех перестановок п объектов и "унитарная" группа в N измерениях и
разби-
to
Предисловие к первому тому
рается вопрос о связи между ними. Частные случаи этпх двух групп уже
встречались в предшествующих главах. В гл. 19 описаны некоторые
неожиданные симметрии в двух знакомых потенциалах - кулоновском и
параболическом (потенциале гармонического осциллятора). В последней главе
(гл. 20) собраны небольшие и мало связанные друг с другом, но весьма
интересные темы.
Ш В текст включены проработанные примеры и подобраны задачи с решениями.
Для читателей, интересующихся более детальным анализом физических
приложений или желающих глубже изучить математические вопросы, в конце
каждой главы дается список дополнительной литературы.
Для удобства читателей мы пользовались общепринятыми обозначениями:
курсивом для алгебраических символов (например, х, у, z) и прямым
латинским шрифтом для операторов. Так, оператор и матрица обозначаются
символом Т, а матричные элементы (числа) - курсивными буквами Ttj. Кроме
того, векторы обозначаются прямыми жирными буквами, а в гл. 15 и 16 (т.
2) встречаются четырехвекторы ё с крышкой над буквой.
Брайтон, Сассекс, 1979
Дж. Э. П. Д.
1
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. РОЛЬ СИММЕТРИИ В ФИЗИКЕ
В "Кратком Оксфордском словаре" симметрия определяется как "Красота,
обусловленная пропорциональностью частей тела или любого целого,
равновесием, подобием, гармонией, согласованностью". Хотя в физике очень
много сложного, в ней также много простоты и изящества, что в
значительной мере обусловлено симметрией физических законов и физических
систем. В соответствии с этим симметрия не только занимает важное место в
физике, но и играет все возрастающую роль в современных физических
исследованиях. Чтобы с общей точки зрения объяснить, почему наличие
симметрии приводит к многочисленным упрощениям физической картины как в
классической, так и в квантовой механике, мы и написали свою книгу. Общие
положения в ней иллюстрируются конкретными простыми свойствами
кристаллов, молекул, атомов, ядер и элементарных частиц. Хотя эти
физические системы столь очевидно различаются между собой, все они тем не
менее могут быть рассмотрены с позиций единой теории симметрии. Таким
образом, изучение симметрии способствует установлению единства физики,
выявляя сходство между ее различными областями.
Симметрия играет некую роль и в классической, не только в квантовой,
физике, но именно в последней ее проявления наиболее интересны. Это
объясняется рядом причин. С одной стороны, на микроскопическом уровне,
где, например, один электрон неотличим от любого другого электрона и
всякий атом, скажем атом углерода, идентичен любому атому того же типа,
можно найти значительно больше симметричного в природе. С другой стороны,
квантовая механика, которой приходится пользоваться на микроскопическом
уровне, будучи значительно сложнее классической, в большей мере
упрощается при
12
Глава 1
наличии симметрии. Примером может служить то, что частица описывается не
заданием ее положения, а заданием волновой функции. Важно и то, что
исследования строения атомных и субатомных систем представляют собой
сейчас передний край науки, и здесь идеи симметрии помогают отыскивать
порядок в кажущемся хаосе.
Как рабочим инструментом для изучения следствий принимаемых теорий или
моделей в физике пользуются математикой. Например, при прямолинейном
движении частицы с массой М в направлении оси х под действием силы f(x),
согласно закону физики (ньютоновской теории), мы имеем /(х)-М(d2x/dt2).
Чтобы выразить координату x(t) через время t при заданной функции f(x),
нужно решить это дифференциальное уравнение с учетом начальных значений
величин х и dxldt. Для этого в ньютоновской механике соответствующим
математическим аппаратом оказывается дифференциальное и интегральное
исчисления. Изучая же симметрию физических систем, мы рассматриваем их
поведение при различных преобразованиях. Например, если частица движется
прямолинейно в поле с потенциалом V (х), то этот потенциал может иметь
зеркальную симметрию относительно начала координат, т. е. удовлетворять
равенству V{-x) = V(x). В таком случае говорят, что потенциал инвариантен
относительно преобразования, заменяющего х на -х. В случае же частицы,
движущейся в трех измерениях, потенциал может обладать сферической
симметрией, т. е. в сферических солярных координатах иметь вид V (г) и не
зависеть от угла. Такой потенциал инвариантен относительно любого
преобразования, состоящего в повороте на произвольный угол вокруг
произвольной оси, проходящей через начало координат (число таких
преобразований бесконечно!).
Чтобы исследовать физические следствия симметрии системы, мы, очевидно,
должны узнать кое-что о преобразованиях и в особенности о множестве
(совокупности) преобразований, оставляющих неизменными некоторые функции
типа потенциала. Теория, рассматривающая такие совокупности
преобразований, называемая математиками "теорией групп", и есть тот
