Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
заряд. Рис. 11.8 иллюстрирует эту ситуацию. Таким образом, можно
предположить, что электромагнитное взаимодействие инвариантно
относительно {/-спиновой подгруппы SU%. Это предположение можно проверить
путем сравнения электромагнитных свойств различных частиц в S{/3-
мультиплете.
Одной из электромагнитных характеристик частицы является ее магнитный
момент р. Поскольку оператор М магнитного момента линеен по заряду, под
действием группы SU3 он должен преобразовываться как заряд, а именно как
М [(11) (/=(>=0]. Таким образом, структура оператора М аналогична
структуре оператора Н, ответственного за расщепление масс в S {/3-
мультиплете. Разница заключается лишь в замене Т и Y на U и Q,
что'эквивалентно повороту весовой диаграммы на 120°.'" Следовательно,
должна выполняться формула, аналогичная формуле
(11.14):
н = <(11) TY | М [(11) {/=<? = 0] | (И) TY> =
= dQ+e{u(U + l)-^<?2~l}. (И-18)
Из этой формулы следует, что магнитные моменты октета барионов (рис.
11.8) определяются двумя постоянными. К сожалению, измерены лишь немногие
из этих магнитных моментов, однако некоторая проверка соотношения (11.18)
все-таки возможна. Например, из (11.18)'^следует, что p(p) = p(S+) и что
р(ге)=2р(Л). Экспериментальные же значения этих величин в единицах
ядерного лиагнетона еШМрс таковы:
р(р)=2,79; р(2+) = 2,5±07;
р(ге)=-0,95; р(Л)=-0,73+0,16.
Небольшое расщепление масс внутри изоспиновых мультжплетов приписывается
электромагнитному взаимодействию. Предположение об {/-спиновой
инвариантности этого взаимодействия приводит к некоторым соотношениям
между электромагнитными добавками к массам частиц. Более детальные
предположения относительно структуры (по отношению к группе SUs)
электромагнитного взаимодействия адронов приводят к дальнейшим
следствия"?.
338
Г лапа 11
Соответствующие вычисления в принципе не отличаются от выполненных нами в
гл. 10, § 1, п. Б, и мы не будем более углубляться в эти вопросы.
§ 10. ОПЕРАТОРЫ КАЗИМИРА
В гл. 7, § 5 мы построили для случая группы 9i3 оператор Казимира J2,
коммутирующий со всеми групповыми операторами. Следовательно, по лемме
Шура в неприводимом представлении D(y) этот оператор кратен единичному.
Соответствующий множитель равен /(/+1), и индекс представления /' моя,-но
также рассматривать как индекс, нумерующий собственные значения оператора
J2. В случае группы ST/.j, неприводимые представления которой нумеруются
двумя индексами X и р, имеется два независимых оператора Казимира --
квадратичный и кубичный по инфшштезимальным операторам.
Простейший способ построения этих операторов - использовать декартовы
обозначения для операторов
(11.2), подчеркивающие равноправие трех измерений. Обозначим через А{
матрицу 3 > 3 вида
(A/)" = 8,vV4VW (11.19)
При все элемент!,I матрицы А{, кроме (А()г;- = 1,
равны нулю. При i=j отличие состоит в том, что добавляется матрица -
V36,,;. Этим обеспечивается равенство нулю следа матрицы AJ при любых i и
/. Три диагональные матрицы связаны между собой соотношением А)-|--f-Af-
f-Aij-0. Таким образом, остается восемь независимых матриц. Соотношение
между ними и матрицами (11.2) таково:
А, Т, . А'. Г . A;: U.,
А( - U_, А', V . . А( - V,,
hi - -Y, Ai -А1-2Тг.
Из определения (11.19) следуют перестановочные соотношения
[А/, Alk] = 8JkA{-8itAi. (11.20)
Исходя из формулы (11.20), нетрудно показать, что оператор Сг- У A(Af
коммутирует со всеми Ак и, следова-
1,1
Группа SU,, и приложения к элементарным частицам 339
тельно, является оператором Казимира. Точно так же оператор С3= 2 а/а!аа
коммутирует со всеми инфините-/Л. *
зимальными операторами, т. с. является вторым оператором Казимира. Такие
рассуждения можно было бы продолжить, но все операторы более высокого
порядка выражаются через С2 и С3.
Собственные значения операторов С2 и С3 в представлении Dl>411 можно
определить по их действию па старший вектор. К такому же результату
привело бы и использование любого другого базисного вектора; выбор
старшего вектора диктуется соображениями удобства. С учетом
перестановочных соотношений (11.20) мы моя сем записать С 2 в виде
С2 = 2 (А;)2 + _ 2 (А/А/ + А/А)) =
= Х(АЛ+ 2 (2А)а( + АЛ-А}).
i I < I
Но для старшего вектора |ф) выполняется раветгство А1|ф>=0 при i<Zj.
Кроме того,
Аз | = _ Y 11|5> = -1 (I + 2р) | г|;>,
(Ai - А5) 11|з> = 2МТ | г|3> = л | ^, А} + А" + А* = 0.
Таким образом, окончательно получаем
С21 <!>> = {¦| (I* + ("3 + >-!') + и (Л +1<)} I Ч'>• (11-21)
Аналогично можно вычислить оператор С;!. По удобнее ввести оператор
Сз= Т L (А? А'А* + А-А/А0 = Q + 4 С2.
ijk
Его собственное значение в представлении дается
выражением
-р) (21. + р-Ь 3) (2р -Ь- А -)- 3) | г|з>. (11.22)
Собственные значения операторов С2 и С3 могут быть использованы для
параметризации неприводимых представлений группы SU3 точно так же, как
собственное значение оператора J2 в случае группы 5?3.
340
Г лава!1
ЛИТЕРАТУРА Q
Таблицы свойств элементарных частиц можпо найтп в работе
