Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
которые принимает t, в этом случае можно определить из разложения
следующих произведений представлений на неприводимые:
Dlll)(g) D(30) = D(41) 0 D(22) 0 D'3t" 0 D(11),
(11.13)
D<u) 0 D(11) = D(22) 0 Dl03> 0 D(30) 0 2D(11> 0 D(00).
Эти формулы можно вывести так, как показано в § 6. Поскольку D(30)
встречается в первом разложении один раз, a D(11) во втором разложении -
дважды, в формулу
(11.12) при (Яр) = (30) входит один приведенный матричный элемент, а
при (Яр) = (11) - два. Воспользовавшись известными явными выражениями для
коэффициентов Клебша - Гордана, получаем знаменитые формулы расщепления
масс
<(30) TY | Н [(И) Т = У = 0] | (30) m = aY,
<(11) TY | Н [(11) Г = У = 0] [ (И) ГУ> = ( }
= bY + c Гг (Г + 1)-|-У2-1
где а, бис - неизвестные коэффициенты, возникающие из приведенных
матричных элементов оператора возмущения Н [(11)Г=У=0] и постоянных
множителей в выражениях для коэффициентов Клебша - Гордана. Зависимость
массы частиц от Г и У, выражаемую формулами (11.14), можно проверить по
значениям масс частиц, приведенным в табл. 11.1. При выводе формул
(11.14) мы не учитывали электромагнитного взаимодействия. Поэтому мы
пренебрежем электромагнитной разницей масс в изомультиплетах и возьмем
средние значения масс мультип етов, приведенные ниже:
У=1,1232; У=0,1385;
Декуплет (30 :
У=-1,1533; У=-2,16 '2.
Группа SUs и приложения к элементарным частицам 335
Октет (11):
Y=1, zw/,, 939; У=0, Т=1,1193; У=о, Г=0,1116; У=-1, Т = ЧЯ, 1318
(массы даны в мегаэлектронвольтах). Для декуплета сразу Hie видна
линейная зависимость массы от Y, Величина а равна примерно -150 МэВ. В
случае октета мы имеем три разности масс и две неизвестные постоянные Ъ и
с Полагая У=± 1, получаем Ъл;-190 МэВ. Из значения массы мультиплета с
У=0, Т=1 получаем с"43 МэВ. Теперь формула (11.14) предсказывает значение
86 МэВ для разницы масс между мультиплетами Y=0, Т=1 и У=0, Т=0. Оно
удовлетворительно согласуется с экспериментальным значением 80 МэВ. Таким
образом, предположение о том, что оператор, нарушающий 5?/3-симметрию,
имеет тип [(11)Г=У=0], приводит к значениям масс частиц, согласующимся с
экспериментальными с точностью порядка 10 МэВ.
Формулу (11.14) можно вывести методом эквивалентного оператора (гл. 7, §
4, п. Ж). Для этого нам необходимо построить два независимых оператора с
трансформационными свойствами базисного вектора с Т=У=0 представления
D(11), матричные элементы которых были бы нам известны. Необходимость в
двух операторах вызвана тем, что группа SU3 не является просто
приводимой. Как и в случае группы З43, попытаемся построить искомые
операторы из инфинитезимальных операторов. В нашем случае это восемь
инфинитезимальных операторов (11.2) группы SUs¦ Заметим сначала, что из
коммутационных свойств (11.3) этих операторов следует, что они отвечают
следующим значениям Г и У:
Сравнение формул (11.15) со структурой представления D(11) позволяет
предположить, что восемь инфинитезимальных операторов группы SU3
преобразуются по этому представлению. Дальнейший анализ их
трансформацион-
U+, V_: У=1, Г=!'
т±, Тг: У=0, Т = 1,
(11.15)
У: У = 0, Г=0,
V + , U_: У = -1, Г =-|-.
336
Глава 11
ных свойств подтверждает это предположение. (Аналогичный результат для
группы д?3 - три оператора Jg преобразуются по векторному представлению
D(1).) В частности, оператор Y обладает требуемым свойством, т. е. имеет
тип (11)T=F=0 и отвечает за члены aY и ЪУ в формулах (11.14). Таким
образом, для декуплета проблема решена. В случае же октета нам необходим
еще один оператор. Можно попытаться построить его из квадратичных
комбинаций инфинитезимальных операторов. Очевидно, что операторы Т2 и Y2
обладают необходимым нам свойством, т. е. коммутируют с операторами Т5 и
Y. Однако каждый из них преобразуется по сумме представлений (22), (11) и
(00), что видно из второго равенства
(11.13). Более детальные вычисления показывают, что по представлению (11)
преобразуется комбинация
где С2 - оператор!Казимира, который будет определен в § 10. Подставляя
вместо Т2 величину Т(Т+1), а вместо С2 выражение (11.21) с А,=р=1,
получаем формулы
(11.14). Оператор (11.16) можно также построить, используя декартовы
обозначения (§ 10). Для этого достаточно заметить, что операторы
преобразуются как А{.
§ 9. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ЭФФЕКТЫ
В § 1 было приведено эмпирическое выражение для заряда частицы Q=Mt+1/2Y.
Из перестановочных соотношений (11.3) следузт, что
Таким образом, оператор заряда коммутирует с операторами ?7-спина, и,
следовательно, заряд Q играет по отношению к U-спину ту же роль, что и
гиперзаряд Y по отношению к Т-спину. В частности, если частицы,
расположенные на рис. 11.8 на одной горизонтали, имеют одно и то же
значение Y, то частицы, расположенные на линии П-спи-
1 1
Т2______L V2_____________1. Г
• 4 т 6 "~2,
(11.16)
к
T* + -jY,U±1 = [t, + 1y,uJ=0. (11.17)
Группа SU3 и приложения к элементарным частицам 337
нового мультиплета (т. е. на линии U± на рис. 11.3), имеют одинаковый
