Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
представление Dl01), например, эквивалентно представлению, комплексно-
сопряженному представлению D(10). В то же время представление D(11) с
Я,=р действительно, т. е. эквивалентно своему комплексно сопряженному. (В
случае группы или SU2 комплексное сопряжение меняет тп на -тп, так что
DF> и DO>* эквивалентны; гл. 7, § 7.)
Б. Произведение представлений
Разложение произведения двух неприводимых представлений группы 5?з
определено формулой (7.44). Соответствующее соотношение
D<^a,> 0D<'^ = 2C(V)D<:'-m.) (11.10)
Л |.i
можно написать и для группы SU3, хотя в этом случае правило, которым по
данным (^ipx) и (Х2р2) определяются коэффициенты С (Хц), выглядит весьма
сложно. Но при малых значениях X и ц, зная как разлагаются на
неприводимые представления произведения неприводимых пред-
Группа SU3 и приложения к элементарным частицам 329
ставлений группы SU2xUi, являющейся подгруппой группы SUз, эти
коэффициенты вычислить довольно просто. Неприводимые представления группы
SU2xUi определяются величинами Т и Y. Произведение представлений Ti, Yi и
Тг, Y2 разлагается на сумму представлений с Т=(Тг+Т^ {Тг+Т,-1), ... ,\Ti-
T2\ и Y=Yi+Ya. Мы использовали здесь обычное правило сложения моментов
для группы SU2 (или 313) и аддитивный закон для Y (гл. 11, § 5). Приведем
для иллюстрации несколько примеров.
Рассмотрим произведение Dllo,@Dtl0). Так как пространство каждого
сомножителя содержит базисные векторы с Т=1/2, У=1/Зи Г=0, Y=-2/3,то
пространство произведения содержит базисные векторы, соответствующие ком-
бинациям Т и Y, данным в первой строке табл. 11.2, а. Таблица 11.2, а
У = 2/з -7з -7з
DO") 0 DO") Г = 1,0 Vs, V* 0
D(2") Т = 1 Vs 0
D<01> Т= 0 Vs -
Таблица 11.2, б
У=1 0 -1
DO") 0 D<01> Т -- 1 / 2 о о V*
DO1) V* 1, о Vs
D<""> ¦- 0
(Конечно, подразумевается, что данному значению Т соответствует
мультиплет 22г7+1 базисных векторов с Мт = = Т, Т-1, . . . , -Т.)
Обозначение V2, V2 указывает на то, что имеются два мультиплета с Т,=1/2,
соответствующих значениям Т,=1/2 и Т-О для первого и второго сомножителя,
и наоборот. Наибольший вес, представленный в первой строке таблицы, есть
Мт-1, Y-2/3. Отсюда мы заключаем, что наше произведение должно содержать
330
Глава 11
представление D(2o). [Мы воспользовались формулой
(11.6), связывающей значения X и р со значениями МгиУ старшего вектора.]
Комбинации величин Т и Y, соответствующие представлению D(20), приведены
во второй строке таблицы. Можно убедиться, что оставшиеся базисные
векторы в точности соответствуют представлению D<01). Таким образом, мы
приходим к заключению, что
QUO) 0 D(10) = D(20) 0 D(01).
Аналогично табл. 11.2, б иллюстрирует разложение
D<10) 0 Dl01) = D(11) 0 D'00).
Точно так же, как и в первом случае, можно показать, что
D<u> 0 D(11) = D(22)0D(O3) 0 d<30>(r) гР*11"(r) D<00). (11.11)
Формула (11.11) пригодится нам в дальнейшем. Здесь же она показывает, что
группа SU3 не является "просто приводимой" (см. определение в гл. 4, §
17): в разложение
(11.11) представление D(u) входит дважды. В заключение отметим, что
все вышеперечисленные результаты можно получить из общего правила для
разложения произведения представлений группы UN на неприводимые (т. 2,
гл. 18, § 5).
§7. КЛАССИФИКАЦИЯ АДРОНОВ ПО вГ"-МУЛЬТИПЛЕТАМ
Кратко ознакомившись с неприводимыми представлениями группы SUз,
обратимся снова к элементарным частицам (табл. 11.1) и покажем, что
адроны можно сгруппировать в ??/<гмультиплеты. Мы отождествим У-спиновую
подгруппу группы SU3 с группой изоспиновой симметрии SU2, а
инфинитезимальный оператор Y с оператором гиперзаряда. Таким образом, SU3
есть расширение изоспиновой группы, включающее группу Uu соответствующую
гиперзаряду.
Первые восемь барионов из табл. 11.1 имеют спин 1/2. Име нно по этой
причине мы поместили S перед А, хотя масса S-частиц немного больше.) Если
мы теперь посмотрим внимательнее на значения Т и Y этих восьми частиц, то
убедимся, что они в точности такие же, как и значения соответствующих
операторов на базисных векторах пространства представления D(11) группы
SU3 (рис. 11.6 и
Группа SU3 и приложения к элементарным частицам 331
11.7). Кроме того, остальные десять барионов из табл. 11.1 со спином 3/2
обладают набором величин Т и У, соответствующим представлению D(30),
изображенному на диаграмме рис. 11.6. Точно так же мезоны из табл. 11.1
группируются в представление D(11) группы SUa. На рис. 11.8
показано положение частиц на соответствующих весовых диаграммах.
Представления D(11) и D(30) обычно называют октетом и декуплетом, так как
их размерность равна восьми и десяти.
, /Го, как адроны группируются в S ?/3-мультиплеты, показывает, что
группа SUs, по-видимому, имеет некий физический смысл. Мы уже видели в
предыдущей главе, что сильное взаимодействие инвариантно по отношению к
изоспиновой группе SU2 - подгруппе группы SU3-Далее, так как сильное
взаимодействие сохраняет гиперзаряд Y, группой симметрии является большая
