Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
спиновый мультиплет, пересекающий шестиугольник до линии BCD, а F-спино-
Группа SU3 и приложения к элементарным частицам 325
вые мультиплеты соединяют линии BAF и CDE. Таким образом, начав с точки
А, заданной двумя целыми числами Яиц, мы можем получить неприводимое
представление, базисные векторы которого соответствуют точкам, лежащим на
сторонах и внутри шестиугольника ABCDEF (рис. 11.5). Мы будем обозначать
это неприводимое представление через D(?tl) или просто через (Яр). Из
нашего построения видно, что каждому узлу решетки внутри шестиугольника
соответствует базисный вектор. Но, вообще говоря, одной точке могут
соответствовать несколько линейно независимых базисных векторов. Можно
показать (задача 11.6), что каждому узлу решетки на стороне
шестиугольника соответствует один и только один базисный вектор. Если мы
соединим между собой ближайшие к сторонам шестиугольника внутренние узлы
решетки, то получим меньший шестиугольник, вписанный в исходный. Можно
показать, чтЪ каждой точке этого шестиугольника соответствует по два
независимых базисных вектора. Такое построение можно продолжать и далее,
увеличивая на каждом пт are число линейно независимых базисных векторов,
соответствующих узлам решетки, до тех пор, пока на очередном шаге вместо
шестиугольника не получится треугольник. Начиная с этого момента, число
независимых векторов, соответствующих узлу решетки, остается постоянным.
Путем такого построения можно показать (задача 11.7), что число линейно
независимых базисных векторов пространства представления, т. е.
размерность представления с2(Яц), дается выражением
^ (Яр) = - (Я + 1) (p-f- 1) (Я-f- р + 2). (11-7)
Некоторые примеры приведены на рис. 11.6. Заметим, что если ц=0 или Я=0,
то мы с самого начала имеем треугольник и, следовательно, каждой точке
решетки соответствует один-единственный базисный вектор.
Остановимся более подробно на представлении D(11>. Дело в том, что, во-
первых, Dlu> - простейшее представление с двумя базисными векторами,
соответствующими одной точке решетки, и, во-вторых, это представление
имеет наибольшее значение в физических приложениях. Представление D(11)
содержит два мультиплета с Г=1/2 при У=± 1 и мультиплет с Т=1 при У=0.
Оставшийся
326
Глава 11
вектор, соответствующий точке (0, 0), должен иметь Т =0, так как в
противном случае мы могли бы получить новые независимые векторы. Точки 0
= (0, 0) можно достичь из начальной точки А = (1/2, 1) многими путями,
включая три
D Ш
\ /
\ /
i
X X
X XX х-
X---------X
Рис. 11.6.
D (го
X-----------X---------х
X XX
X XX х
\ /
х х
изображенных на рис. 11.7. Эти пути соответствуют следующим
преобразованиям:
АО V+\y> = VY\V=l>,
ABO T_U_ | г|з> = V2 \Т = 1 >, (11.8)
AFO U_T_ j гр> = У2^ | U = 1>.
Так как состояние |чр> имеет Mv=-1 и, следовательно, V=l, то путь АО
должен привести к состоянию с V=i и Mv=0. Множитель У2 в соотношениях
(11.8) возникает
Группа SUs и приложения к элементарным частицам 327
из-за определения (7.40) повышающего оператора V + . Точно так же U_ |чр>
есть состояние с МТ=1 и, следовательно, Т=1. Таким образом, T_U_|т]э>
имеет Т=1 и Мт=0. Аналогично путь AFO приводит к состоянию с U=1. Мы
построили три на первый взгляд различных вектора, соответствующих точке
(0, 0). Однако эти векторы не являются линейно независимыми. В самом
деле, соотношение [U_, T_]=V+ [формула
(11. Зг)] непосредственно
приводит к линейной зависимости |С/=1>-|Г = 1>
= |F=1>. В качестве базисных векторов необходимо выбрать две
ортогональные друг другу комбинации этих трех векторов.По разным причинам
удобно выбрать векторы |Г=1> и |7,=0>, которые должны быть взаимно
ортогональными. Воспользовавшись еще раз перестановочными соотношениями
(11.Зг), можно показать, что |Г = 0> = (1/КЗ){|С7=1> + |7 = 1". Для этого
достаточно показать, что 71+{lf7=l> + |F=l>}=0. Множитель 1/|/3 возникает
из-за того, что состояния |С/=1 > и |F=1> не ортогональны:
1
<F = l|?/ = l> = y<i|:| V_U_T_ | ф> =
= 4<^IU-V-T- К> + Т<^1т+т- I ^>==
= 4<ф|и_Т_У_|ф>-|<ф|и_и+|ф> + 4 = 4
Переходя к базисным векторам |Г=1> и |7,=0>, получаем
|С/ = 1> = |КЗ' | 7, = 0>4-~]7, = 1>, |F = 1> = -|- |/3~\Т = 0>-у|7, =
1>,
328
Глава 11
а из ортогональности следует, что
|С/ = 0> = -1|7' = 0>-ij/Т | Г = 1>,
(11.9) |F = 0> = i-|7' = 0> + |K3" |Г = 1>.
А. Комплексно-сопряженные представления
Матрицы, комплексно-сопряженные матрицам представления D некоторой
группы, также образуют представление этой группы, обозначаемое символом
D*. Для исследования представления D* проще всего рассмотреть
соответствующие инфинитезимальные операторы. Из определений (11.1) и
(11.2) следует, что комплексное сопряжение инфинитезимальных операторов
Хг группы SUa приводит к изменению знаков Тг и Y и к тому, что остальные
шесть повышающих и понижающих операторов меняются ролями. Иа (Мт, У)-
плоскости это приводит к отражению диаграммы относительно обеих осей, что
эквивалентно (рис. 11.5) замене р на К и наоборот. Таким образом,
