Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эллиот Дж. -> "Симметрия в физике Том 1" -> 106

Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.

Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике Том 1 — М.: Мир, 2001. — 364 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyavfiziket12001.djvu
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 122 >> Следующая

пользоваться наличием трех S ?/2-подгрупп в группе SU3, о которых шла
речь в предыдущем параграфе. Для каждой из этих подгрупп необходимо
ввести повышающие и понижающие операторы по аналогии с формулой (7.27).
Таким
318
Глава 11
образом, оказывается удобным перейти от операторов Хд к следующим их
комбинациям:
/О 0 1\ V_ = i(X4 + iX5)= ООО,
\о о о/
1
Можно убедиться, что коммутатор любых двух из этих восьми матриц является
их линейной комбинацией. Это, конечно, следствие общего свойства (7.7)
инфинитезимальных операторов группы. Например, три матрицы Т± и Tz,
будучи инфинитезимальными операторами S U2-подгруппы, удовлетворяют
перестановочным соотношениям
[Т+, Т_] = 2Тг, [Т"Т±] = ±Т±. (11.3а)
(11.2)
(7.28) и (7.30):
Группа SU3 и приложения к элементарным частицам 319
Если мы положим UZ=S/4Y-V2TZ и Vz=-S/4Y-V2TZ, то операторы U и V будут
удовлетворять точно таким же перестановочным соотношениям, так как и они
определяют ??/2-подгруппы:
[U+, U_] = 2UZ, [Uz, и±] = ±и±,
(11.36)
[V+, V_] = 2VZ, [Vz, V±] = ±V±.
Говоря об этих трех 5С/г-подгруппах, мы будем пользоваться терминами Г-
спин, ?/-спин и F-спин. Из формул
(11.2) следует, что матрица Y коммутирует с Т± и Tz. В дальнейшем нам
понадобятся также и следующие перестановочные соотношения, которые легко
вывести из определений (11.2):
[Т" и±]= + 4и±> [у> и±]= + и±,
[Т" V±] = =f4-V±, [Y, V±] = =FV±, (И-Зв)
[Т+, U_] = [Т_, U+] = [T+, и_] = о,
[Т_, V+] = [U+, V_] = [U_, V+] = 0, (11.Зг)
[V_, U_] = T+, [U+, v+] = т_, [и_, т_]=v+,
[Т+. U+] = V_, [T_, V_] = U+, [V + , T+] = u_.
Напомним (гл. 7, § 2), что в случае группы Ли такие же перестановочные
соотношения выполняются во всех представлениях. Таким образом,
перестановочные соотношения, полученные для ЗхЗ-матриц (11.2),
справедливы в общем случае.
Теперь мы воспользуемся этими перестановочными соотношениями для
построения и классификации неприводимых представлений группы SUs, так же
как ранее мы использовали перестановочные соотношения (7.26) для
получения неприводимых представлений D(r группы ?%3. Но сначала напомним
последовательность шагов, предпринятых для построения представлений D^'1.
Во-первых, был выбран базис, в котором один из операторов, а именно Jz,
диагонален. Затем, учитывая, что ни один из оставшихся операторов нельзя
диагонализовать одновременно с Jz, из них были построены операторы,
повышающие и понижающие собственные значения т оператора J*. В конце
концов было показаро, что если j -*¦
320
Глава 11
максимальное значение величины т в данном представлении, то имеется (2/ -
1-1) базисных векторов со значениями 771=/, /-1, ... , -/. Величина / для
различных представлений может принимать только значения /=0, 1/2, 1, 3/2,
.... Таким образом, неприводимое представление можно было характеризовать
числом / и обозначать символом" D'-'1. Базисные векторы можно было
изобразить
¦----1----1--------I----1 ¦- |-----------------i i *~т=<.]гУ
-j -j+1 -/ 0 1 j-I j
Рис. 11.1.
как ряд из (2/-f-l) точек на оси т, расположенных симметрично
относительно начала координат с интервалами, равными единице. На рис.
11.1 представлен случай целого /. Так мы будем поступать и в случае
группы SU3, но с соответствующими усложнениями. В этом случае можно
диагонализовать уже два из восьми операторов. Следовательно, для
изображения базисных векторов представления SU3 вместо одномерного
понадобится двумерное пространство. Для классификации неприводимых
представлений также необходимо теперь два числа вместо одного /.
Обозначим на время неприводимое представление группы SU3 символом D.
(Позже мы будем пользоваться более детальным обозначением Daw,), когда
определим индексы X и ц.) Мы выберем для представления базис, в котором
операторы Tz и Y диагональны. Это возможно в силу их коммутативности.
Более двух из восьми матриц (11.2) диагонализовать одновременно
невозможно, так как это привело бы к существованию более чем двух линейно
независимых диагональных Зх 3-матриц с нулевым следом. Поскольку Тг, Uz и
Vz - это обычные ??/2-операторы, их собственные значения, как нам
известно, равны 0, ±V2, ±1, ±3/2 и т. д. Из определений операторов Uz и
Vz следует, что Y=2/3(UZ-Vz); стало быть, собственные значения оператора
Y должны быть равны 0, гЬ1/*, ±2/а, ±1, ±4/з и т. д. Тогда, если мы
обозначим собственные значения операторов Tz и Y через Мт и 7, каждому
базисному вектору пространства представления можно поставить в
соответствие точку (МТ, Y), расположенную в узле прямоугольной решетки с
шагом J/2 в направлении и с шагом V* в направлении Y (рис. 11.2).
Группа SU3 и приложения к элементарным частицам 321
После диагонализадии двух из восьми инфинитезимальных операторов действие
оставшихся шести операторов Т±, U± и V± легко изобразить на (МТ, У)-
плоско-
1 /
• в • . Vj • • • •
• О • • Чз в • • •
" " " • * • • • • ¦ 1 • 2Ь • to " * * • • • " • • С " •
-г -з/г -f • • • • * • • • • -1/г • h .-2/j • -1 •~Чз У'г 1 Чг г
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed