Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
слабым взаимодействием. ЕГ этом смысле он подобен электрическому заряду,
который тоже сохраняется во всех процессах без исключения. Распад протона
на мезоны нарушал бы сохранение барионного заряда, а потому он
невозможен. Для полноты картины заметим, что электрон, мюон и нейтрино,
не участвующие в сильных взаимодействиях, называются лептонами. Все они
имеют спин, равный 1/2, и В= 0. Электрон, р,- -мезон и нейтрино имеют
"лептон-ный заряд" L=1, а позитрон, р+-мезон и антинейтрино - "лептонный
заряд" L=-1.
§ 4. ГРУППА SU3
Выше мы показали, как частицы объединяются в изо-спиновые мультиплеты, и
ввели новое квантовое число - гиперзаряд У. Теперь мы на время оставим
физику и обратимся к математическим свойствам группы SU3 с тем, чтобы в §
7 рассмотреть объединение определенных комбинаций изоспина Т и
гиперзаряда Y в большие мультиплеты, соответствующие неприводимым
представлениям группы SU3.
Группа U3 определяется как множество унитарных 3 X 3-матриц U и является
естественным обобщением рассмотренной в гл. 10, § 1 группы U2. Эта группа
является также частным случаем группы UN с произвольным N, которая будет
рассмотрена в т. 2, гл. 18. Но вместо того чтобы использовать общую
теорию, мы получим необходимые результаты непосредственно при N-3.
Условие унитарности накладывает девять условий на девять комплексных
матричных элементов матрицы 3x3, оставляя, таким образом, девять
действительных параметров. Выделяя из матрицы U фазовый множитель
ехр(йр), так чтобы определитель оставшейся матрицы был равен +1, мы
приходим к группе SU3, имеющей, очевидно, 8 параметров. Соответствующие
восемь инфинитезимальных операторов должны, как и ранее, быть
антиэрмитовыми и иметь нулевой след. Обобщая естественным образом формулы
(10.1), мы можем выбрать эти восемь инфинитези-
316
Глл*л it
мальных операторов такими:
П О О
Х8 = - (О i О
\0 0 -2i
А О 0 1
\0 -1 О
\-1 0 0/ /о о 0\
(11.1)
(:
Первые три из них - это просто инфинитезимальные операторы группы SU2,
действующие на двумерном подпространстве, получающемся, если игнорировать
третий базисный вектор. Следующие две пары аналогичны Xj и Ха с той лишь
разницей, что они действуют на подпространствах, натянутых на первый и
третий и второй и третий базисные векторы. Два соответствующих аналога
матрицы Х3 не являются линейно независимыми от Х3. (Если бы это было не
так, то мы имели бы девять операторов вместо восьми.) В качестве восьмого
инфинитезимального оператора мы выбираем диагональную антиэрмитову
матрицу с нулевым следом Х8, которая, очевидно, линейно независима от Х3.
§ 5. ПОДГРУППЫ ГРУППЫ SU.
Подгруппу SU2 группы .S?/3 можно построить, взяв любое двумерное
подпространство трехмерного пространства, в котором определена группа
SUs. Такой подгруппе соответствуют, например, инфинитезимальные операторы
Xi, Х2 и Х3. Тройки операторов Х4, Х5, х/2 (X3+VZX8) и Xe, Х7, */2(-Xз -
f-1 /2ХR) также соответствуют 5?/а-под-группам. Эти подгруппы могут быть
расширены, так как оператор Х8, например, коммутирует с операторами Ха-Ха
и Х3. Таким образом, эта четверка операторов порож,
Групп* SVj а приложения к элементарным чаетицам 317
дает прямое произведение SU2xUt- Если обозначить базисные векторы
пространства, в котором действует группа SUs, через е*, е2 и е3, то на
подпространстве, натянутом на векторы е* и е2, действует подгруппа SU2,
порожденная инфинитезимальными операторами Х1( Х2 и Х3. Элемент подгруппы
Ut может быть представлен в виде U(a)=exp(aX8), так что U (а)ех=ехр (-
ia)et, U(a)e2= =ехр(-ia)e2, a U (a)e3=exp (2ia)e3.
г? Группа Ui абелева, так как U (a) U (b)=U (а+Ь); поэтому ее
неприводимые представления одномерны. Фактически группа Ut изоморфна
группе Ш2, рассмотренной нами в гл. 7, § 3, и ее однозначные неприводимые
представления параметризуются целыми числами. Для дальнейшего нам удобно
записывать эти целые числа в виде ЗУ. Таким образом, представления группы
Ut даются формулой Т(Л=ехр(-гЗУа). Оператор Х8 в этом представлении равен
-ЗгУ. При построении неприводимых представлений мы воспользуемся наличием
в группе SU3 подгруппы SU2xUt.
Если мы ограничимся действительными унимодуляр-ными 3 X 3-матрицами, то
найдем еще одно семейство подгрупп группы SUs. Они изоморфны группе 5i3,
о которой говорилось в гл. 7, § 4. В самом деле, нетрудно показать, что
действительные матрицы Х2, Х3 и Х7 удовлетворяют перестановочным
соотношениям группы Э13 и фактически идентичны матрицам .°А3, даваемым
формулой (7.24) для представления D{1). Мы не будем исследовать
соотношение между SU3vl подгруппой ,%3. Заметим только, что наличие этой
подгруппы в SU3 используется при объяснении коллективных движений в
легких ядрах (т. 2, гл. 19, § 2).
§ 6. НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ SU3
Обратимся теперь к структуре, классификации и свойствам неприводимых
представлений группы SU3. При этом мы будем следовать методам,
применявшимся в гл. 7, § 4, п. Б для группы Ш3. Мы будем систематически
