Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
— *2 = 111((1()2 4_ s;n2 0 d'f).
Распространяя это па случай трех измерений, мы получим ври трех переменных углах
— ds'1 = R- {d/J -f sin2 -L (d 02 -f sin2 6 d<f)}. (67.11)
67. Цилиндрический и сферический мир
291
Следовательно, интервал в мире Эйнштейна задается в виде*): ds2 = R'2d у} — R sin5 7_(rf02 -j- sin2 0 ri»2) dt2. (67 .2)
Конечно, такой вид приложим только к форме мира в большой масштабе. Незначительные неправильности, происходящее от аккумулирования материи в звезды и звездные скопления, следует рассматривать как местные отклонения, которыми можно пренебречь.
Если мы будем итти от начала координат в любом направлении, то расстояние, измеренное твердыми масштабами, ©кажется равным By; но поверхность сферы радиуса By будет ве 4тг R- у2, a ArfiR2 sin2 у**). В далеких областях совсем не так много простора, как предполагал Эвклид. Мы достигнем «наибольшей сферы» на
расстоянии тс R; если мы пойдем далее, то последующие сферы
будут все уменьшаться и сведутся на расстоянии к точке; тг R есть наибольшее расстояние, которое вообще может существовать. Весь объем пространства (определенный твердыми масштабами) конечен и равен
TZ
j‘A-xR? sin2 у Rdy = 2 ^R*. (67.2)
О
Несмотря на то, что объем пространства конечен, последнее не имеет границ; не существует также какого-нибудь центра сферического пространства, каждая выбранная точка находится в таком же отношении ко всему остальному пространству, как и всякая другая точка.
Для получения формы мира де Ситтер# мы обобщим (67.11) на четыре измерения (т. е. получим сферическую четырехмерную поверхность, начерченную в эвклидовой пространстве ияти измерений). Для четырех угловых переменных о), С, 0,® имеем
_ ds* = й2[&)2 4- sin2 О){С2 + Sin2 с (dV 4- sin - 0 dy*)}]. (67.31)
Чтобы получить более ясную физическую интерпретацию,
*) В работе «Die LSsungen der Feldgleichnngen der Schwere von f: Ii'.varzschild, Einstein und Trefftz und ihre Vereinigungo. Berl. Sitaangsber. стр. 27 исл. Лауэ предложил важное обобщение формы Эйнштейна.<Н.)
**) Потому что элемент длины дугп на «сфере Эйнштейна» радиуса -RZ получается из (67.12) при d^ = dt = Q в виде
№ Sin^ Z(rf Є2 -4- sin2 Є d^), т. е. в форме элемента длины эвклидовой сферы радиуса Я sin 7.. [IIi
19*
292
Кривизна пространства и времени
r-.-« і (67'32>
перейдем к другой координатной системе путем следующего преобразования:
COSО) = COS/ • cos it ctg С = ctg/ • sin і t
и его обращения *)
sin / = sin С • sin ш tg it = cos С • tg ш
После подстановки получаем:
ib2 = — Ridy} — Ri sin2 -/Sd62 _|_ sin20dвЯ) + R2 cos21 dfi. **) (67.33)
Поскольку дело касается (/,б,®), это выражение совпадает
о Эйнштейновой формой (67.12), но переменная t, которую следует рассматривать как «время» ***) в этом мире, обладает уже иными свойствами. Для покоящихся часов (/, 0, ф = const) мы получаем:
ds = R cos і dt, (67.4)
так что «продолжительность» любого периода пропорциональна sec /. С удалением от начала координат удары маятника становятся все реже и реже; в частности, колебания атома становятся все медленнее. Более того, мы можем обнаружить опытным путем это замедление атомных колебаний, так как оно передается нам без
*) Проще всего убедиться в этой, если принять во внимание, что обе системы формул получаются при сравнении двух различных параметрических представлений для решений уравнения
2IsI2 А
X -+-X -\-х = 1.
1 1 5 ' з
а именно
X1 = COS Wj X2 — sin <0 COS С, X1 — sin IJl sin С
и
X1 = cos 'I cos it, X2 = cos X sin *f, Xi = sm у. (Я.)
**) В силу первого из уравнений (67.32) для проверки этого резуль-
тата нужно только показать, что обе дифференциальные формы (/(O2 -f- sin2 <0 rfC2, и dy} — COS3 у dfi связаны друг с другом указанным выше преобразованием. Для облегчения вычислений мы даем выражения для da> и
, sin 7 COS it , .... COS Y
die = ---------------d у 4- г sm it ——- dt,
sm со '¦ sm ш
„ , sin it , , . n „
«С = d -.-3— dy — t cos it ctg у Sini Q dt.
sin^d) '- (II.у
***) Скорость света в начале координат равна теперь R; время в обыч-
ных единицах было бы равно Rt.
67. Цилиндрический и сферический мир
293
изменения светом, излученный атомами. Координаты (67.33) образуют статическую систему, в которой скорость света не зависит от t\ следовательно, все световые импульсы запаздывают при прохождении на одио и то же «время» и достигают нас с теми же интервалами t, с которыми они были испущены; поэтому спектральные линии, исходящие из далеко расположенных покоящихся тел, должны казаться смещенными в сторону красной части спектра.
На «горизонте» у = Y^ всякое конечное значение ds соответствует бесконечному dt. Требуется бесконечно большое время для того, чтобы что-либо могло произойти. Все процессы в природе замирают, поскольку их можно наблюдать из начала координат.
Ho нам следует вспомнить, что симметричность основной формулы (67.31) дает нам возможность любую точку пространства и времени выбрать за начало координат без изменения конечного результата—это значит, что не может быть никакой разницы в явлениях природы на горизонте и в начале координат. Наблюдатель на горизонте не заметит остановки хода явлений, действительно, у него есть свой горизонт на расстоянии утг R, где, как ему будет казаться, все находится в полном покое. Пошлем теперь луч света из начала координат на горизонт и обратно. (Мы берем здесь двойной путь для того, чтобы интервал времени можно было отсчитать на одних и тех же часах в начале координат. Физический смысл времени при ординарном пути менее очевиден.) Положим ds = 0. Тогда скорость света получится по формуле
