Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
G = ^-Gvi=-Gu-Ga-G3a-Gii =
= ^ {(ai2 aIl а22)“Ь (“із aU азз) + (“н aIl а44)”Ь
Н~ (°23 a22 аЗэ) + ( W24 а22 a4i) ~Г (a34 й33 аАл) }' (65.54)
Если оси выбраны таким образом, как и в случае (65.3), эти формулы дадут:
G\1= —A1 (А-з +^3+^4)»
^?22 == A2 C^X —і— ^^ —I— ® Т* Д»
И
C = 2 (Itl A2 + /сj A3+Ai Ai-I-A2 /%+? A4+A3 A4) (65.6)
Инвариант G получает, таким образом, сравнительно простую интерпретацию в терминах главных радиусов кривизны; он представляет собой обобщение хорошо известного инварианта дву-
1
мерных поверхносіей ------- или A1 &2. Ho такая интерпретация
Pi Рг
возможна только в простом случае пяти измерений. В общем же случае пятп измерений недостаточно для того, чтобы проставить даже и малую часть поверхности вблизи начала координат; действительно, если мы положим в (65.55) G^ = 0, то получим, что все А = 0, и отсюда по (65.51) # == 0. Мы видим поэтому, что невоз-
можно представить указанным путем естественное поле тяготения (Giv = O, ^vjpTfcO) в эвклидовом пятимерном пространстве.
Мы будем продолжать называть инвариант G гауссовой кривизной и в более общих случаях, несмотря на то, что его не удается интерпретировать через главные кривизны *).
Представляется также весьма удобным ввести величину, назы-
* Herglot^, Leipz. Вег. 68, 199, 1916, указал, что и в общем случае гауссову кривизну и сокращенный тензор кривизны можно определить геометрически при помощи гауссовых кривизн соответствующих двумерных еечений. (Н.)
(65.55)
2S4
Кривизна пространства и времени
ваемую радиусом сферической кривизны, т. е. радиус гиперсферы* имеющей ту же самую гауссову кривизну, что и рассматриваемая поверхность *).
Рассмотрим геометрию общего случая. При 10 измерениях нормаль **) есть многообразие 6 измерений, в котором мы можем взять прямоугольные координаты Z1, s2, ... , z6. Поверхность Судет тогда определяться шестью уравнениями, имеющими вблизи начала координат вид:
2з, = «. XX Ir = I1 2, ..., 6).
T tv [I V V »<*»•>/
Радиус кривизны нормального сечения по направлению I •будет
Є- 1
Р= 2У&+Ц+ “= V'
He имеет однако большого смысла развивать далее свойства кривизны нормального сечения, зависящие от поверхности, выбранной для изучения метрики пространства-времени, но не присущей самой метрике. Мы пойдем поэтому другим путем, введя радиус сферической кривизны, имеющий инвариантные свойства.
Возвращаясь на время к пяти измерениям, рассмотрим то трехмерное пространство, которое образовано сечением нашей поверхности плоскостью !E1 = O; пусть — его гауссова кривизна. G будет подучена из G при отбрасывании всех членов, содержащих значок 1, измерения, не входящего больше в рассмотрение. Следовательно, G — будет состоять из этих членов G1 содержащих значок 1; по (65.53) и (65.54) мы имеем
Y (6!-ff(i))== -Gir (65-71)
*) Гиперсфера четырех измерений, по определению, является поверхностью четырех измерений, начерченной в пяти измерениях, так что к ней при-
1 '1
josrhmo (65.G). Следовательно, если ее радиус есть Rt то мы имеем (У = — ;
6 2
для трех измерений G = —; для двух измерений G = — . (HJ)
it- /і-
**) Если в десятимерном эвклидовом многообразии дано А-мерное линейное множество направления (Clxl, . . . , ^i10), исходящих из начала, причем X1, . . . , X10 являются обычными эвклидовыми прямоугольными координатами, то соответствующее (и — А)-мерное нормальное многообразие состоит из совокупности точек, координаты которых Y1, . . V10 удовле-
творяют всем уравнениям
V1 (Irl 4- . . + ую (!.C10 = 0. (Д.)
65. Кривизна четырехмерного многообразия 2.95
Бводя значение = — 1 в начале координат, получим:
Gn—T9nG = -2Gw (65‘72)
Этот результат, полученный для случая пяти измерений, является вполне общим. Рассматривая путь, которым мы достигли
(65.4), мы увидим, что каждое из шестн ъ будет сказываться на Значении д просто в виде аддитивного члена; нам, следовательно^ надо только сложить а а х х для шести значений а а . вве-
" (IN ОТ [І Ї JXV UT/
денных шестью членами ^sr2. Все последующие вычисления содержат лишь линейные уравнения, и, следовательно, то, что справедливо для одного а, будет справедливо и для шести ъ. Таким образом, (65.72) имеет место и в общем случае, когда мы имеем 10 измерений.
Рассмотрим теперь инвариантную квадратичную форму:
^ = (65-81> Обозначим через P1 радиус-вектор этой формы в направлении
X1, так что dx = (P1 0, 0, 0) есть точка на поверхности, соответ-
ствующей этой квадратичной форме. Предыдущее уравнение дает
Gn — \9n 6^Pia = 3, так что согласно (65.72)
= (65-82>
Ho для гиперсферы радиуса R в трех измерениях (A1=Ar2=A3= = ~ , a исчезает) гауссова кривизна равна . Следовательно, P1 есть радиус сферической кривизны трехмерного сечения мира, перпендикулярного к оси Xv
Так как квадратичная форма (65.81) инвариантна, то ось X1 может быть взята в любом направлении. Мы видим, следовательно, что «радиус-вектор квадратичной формы
G — -к- 9..ч g \ dx dx = З
в любом направлении равен радиусу сферической кривизны соответствующего трехмерного сечения мира». Мы назовем эту квадратичную форму квадратичной формой кривизны.
