Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
КРИВИЗНА ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ.
65. КРИВИЗНА ЧЕТЫРЕХМЕРНОГО МНОГООБРАЗИЯ.
В общей рнманновой геометрии, принятой в нашей теория за основу, д могут быть любыми десятью функциями четырех коор-
Четырехмерный континуум, подчиняющийся рнманновой геометрии, может быть „графически" представлен поверхностью четырех пзмерепий, начерченной в эвклидовом гиперпространстве достаточно большого чиола измерений. Фактически требуется '10 измерений — соответственно числу д . Действительно, пусть (yv у,2, . . . , уJ0) будут прямоугольные эвклидовы координаты, a (xv -T2, хя, X4) — параметры на этой поверхности; тогда уравнения поверхности будут иметь вид
У\ = Л (-cD x-21 ^31 Xi)> • • • J У10 ~ Ao OrD а-2) Х3> Xi)'
Для интервала на поверхности эвклидова геометрия, имеющая место для у/, дает:
Приравнивая коэффициенты при Cfcn1 заданным функциям д ^ мы получаем 10 дифференциальных уравнений в частных производных вида
ci's —dy1 -j-cly^ -р dy3-\-. . . -j-ф/їо —
dIl dL _L_ J_^o
Bx1 dx2 1 ‘ * 1 dxx дхя
2dxx dx2 -f- .
65. Кривизна четырехмерного многообразия
281
Эти уравнения должны быть удовлетворены 10 функциями f . Очевидно, в общем случае это возможно только тогда, когда МЫ имеем не меньше 10 ЭТИХ f%.
Когда мы пользуемся выражением «кривизна» по отношению к пространству-времени, мы всегда мыслим последнее помещенным таким именно образом в эвклидовом пространстве более высокого числа измерений. Мы не хотим этим сказать, что такое пространство более высокого числа измерений существует; целью такого изображения является лишь желание более ясно представить себе метрические свойства мира. Следует помнить также, что большое число четырехмерных поверхностей в 10 измерениях будет обладать одной и той же метрикой, т. е. каждая поверхность может быть наложена на другую сгибанием без растяжения, и любая из них может быть выбрана для представления метрики пространства-времени. Таким образом, геометрическое свойство выбранной для представления поверхности не обязательно должно быть свойством, внутренне присущим пространственно-временному континууму.
Четырехмерная поверхность, могущая свободно искривляться в шести дополнительных измерениях, обладает невероятным количеством возможностей. Рассмотрим сначала простейший случай, когда вся поверхность или хотя бы небольшая часть ее может быть начерчена в пятимерном эвклидовом пространстве.
Возьмем за начало координат какую-либо точку на поверхности. Пусть (xv х2, ?с3, Xi) будут прямоугольными координатами в касательной (четырехмерной) плоскости в начале координат. Обозначим пятую прямоугольную ось, направленную по нормали, через я. Эвклидова геометрия дает
— ds2 = dx2 -j^dx2 -j- dx& -j- dx2 — dz2 , (65.1)
причем мнимые значения для ds соответствуют, как обычно, вещественному расстоянию в пространстве. Четырехмерная поверхность будет определяться одним соотношением между пятью координатами. Зададим его в виде
* = f (xi> xIi хз> хд-Если начало координат не является особой точкой, эту функцию можно разложить по степеням х. Отступления от касательной плоскости будут величинами второго порядка малости по сравнению с расстояниями, параллельными плоскости; следопи-
2S2 Кривизна пространства и времени
тельно z не будет содержать членов, линейных относительно х. Следовательно, разложение начинается с однородной квадратичной функции, и уравнение с точностью до величин второго порядка б}гдет иметь вид
2z = a х х . (63.2)
[XV [X V * V '
Для заданного значения z квадратичная форма (65.2) называется индикатрисой.
Радиус кривизны всякого нормального (ортогонального) сечения поверхности находится хорошо известным способом. Если t — радиус индикатрисы в направлении сечеиня (с направляющими косинусами Iu I2, l3) Ii), то радиус кривизны будет равен
— Л— 1
^ 2 z all
JXV {X V
В частном случае, если оси повернуты до совпадения с главными осями индикатрисы, выражение (65.2) обращается в следующее
2s = ItlX2l -j- -j- It3X2s -j- ItiX24 , (65.3)
и главные радиусы кривизны поверхности будут величинами, обратными Itu It2, ft3, Iti.
Дифференцируя (65.2), имеем
ds = а х dx , da2 = а х dx а х dx\
[XV [X Ч' [XV [X V ЗТ J T7
подставляя это в (65.1), получаем
— ds2 = dx2. -4- dx2. 4- dxl -4- dx'. -4- (a a x x ) dr dx
IJ 3* 4 I ' и p, ?/ vx
для точек в нашем четырехмерном континууме. Следовательно,
— 9,t = ^+ % Xil гв. (65.4)
Отсюда видно, что в начале координат g имеют эвклидовы Значения, а их первые производные исчезают; вторые же производные задаются в виду (35.5) уравнениями
Вычислим теперь тензор Риманна—Кристоффеля, пользуясь
(34.5) и помня, что первые производные равны нулю:
1 / Pgm- , &g„, №g.t?
65, Кривизна четырехмерного многообразия 2S3
Отсюда, на основании тою, что да? имеют эвклидовы значения— получим
а^ = 9,? вг„9= — % (^11 + ?+?+^)+Va-'a- (65.52) В частности
G11 = --aIl (aII+ aTljV аы~\- aA 4)+ aII+ °12+ “із+ а14 =
= (а12 aIl а22) + (а13 aII ('зз) + (а14 а11а44) • (65.53)
Аналогично
