Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема п. 52 есть частный случай этой теоремы, так как на основании (60.43) T^1 есть гамильтонова производная от G.
62. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ ТЕНЗОРА ЭНЕРГИИ.
До сих пор мы отождествляли тензор энергии с величиной 1 ч
— — <7u G главным образом потому, что расходимость этого выражения тождественно равна нулю, но,с другой стороны, только
что доказанная теорема позволяет нам построить другие фундаментальные тензоры, обладающие указанным свойством; следовательно, существуют также и другие возможности отождествления тензора энергии. Простейшими фундаментальными инвариантами можно считать следующие три:
K=G; К' = G^ G^; К" = В^.В^ (6JM)
It CL №
До сих пор мы в качестве тензора энергии орали -=•—; но если
/•7 iLч
62. Различие формы тензора энергии
269
W
бы мы вместо этого приняли > т0 законы сохранения энергии и количества движения были бы также выполнены, так как расходимость последнего іензора также равна нулю; наконец,
А А ЬК"
с таким же правом можно было бы использовать —- •
у9 Ixv
Для пустого пространства тензор энергии должен по условию равняться нулю, гак что закон тяготения в пустом пространстве при трех возможных предположениях о тензоре энергии выражается уравнениями
1К- -0; Ж-О (62.2)
1Wf, Ц., %„
Легко убедиться, что оба последние тензора содержат четвертые производные от д . Значит, если мы сможем установить в качестве необходимого условия, что закон тяготения в пустом пространстве должен выражаться с помощью дифференциальных уравнений второю порядка, то единственным возможным тензором энергии окажется тот, который мы употребляли до сих пор. В случае уравнении четвертого порядка вопрос о природе граничных условий, дополняющих дифференциальные уравнения, оказался" бы очень сложным, но это конечно не может явиться основанием к тому, чтобы попросту отбросить эти уравнения.
Оба последние тензора представляют собой необычайно сложные выражения, но если применять их для определения поля изолированной частицы, то с ними можно все же оперировать. Действительно, так как такое поле симметрично, то оно должно иметь общий вид (38.2), так что остается отыскать лишь неопределенные коэффициенты X и V, являющиеся функциями только от г. Величину К' можно без труда выразить через Xhvc помощью уравнений (38.6); но так как для К" получается значительно 'более простое выражение, то разберем именно этот последний случай. Применение метода п. 38 дает
1 (* + •') ( ... 2>.
К" = А'" ]/— д = 2е 2 sin Ь |е (>/* + ?») -f
270 Релятивистская механика
Ясно, что для вариаций, исходящих из симметричного состояния, интеграл выражения К" будет стационарным; следоватэльно, мы можем ограничиться рассмотрением вариаций X и v, а также
W п
их производных по г *). Поэтому уравнения тяготения і = U
/У ц.-J
*) Доказать это можно следующим образом (ср. соображения, которые высказывает Н. Weyl, Raum, Zeit, Materie, 5-е изд., стр. 253—254, при выводе шварцшильдовского решения уравнений тяготения Эйнштейна). Если Щ"
обозначить через Ajrlj то Afiv есть тензор второго порядка, и квадратичная дифференциальная форма k^4dx dx4 ковариантна с g^dx^dx,- поэтому для частного типа (38,12) интервала d& она допускает те же преобразования, что и (38.12), и поэтому имеет аналогичный вид:
*11 = -U, Hast= - Fr2, A83 = - Vr* 8ІП2 0, ки = W,
Aliv = O, O^),
где U1 V, W зависят от U, V, W из выражения (38.12). Поэтому тензор і
обращается в нуль, когда U, V, W равны нулю. Если же вычислить К", кладя в основу (38.2), и варьировать но U, V, W, то с точностью до интегралов но граничной поверхности
8JK" у ITg dx = f ( U В U + Ко V (И + И sin* Є) + Tfo JV ) Y~^ dx.
Достаточно, таким образом, рассмотреть три уравнения
Ml= о 1^" = о 1)А" = О W 'IiV ’ fw а
Между этими тремя уравнениями имеется линейная зависимость. Действительно, если произвести бесконечно малое преобразование координат, заменяя )¦ па г -J- Sr, где Br зависит только от г, то U, F, W испытывают вариации
В U
= U'br, BF=^F' + 7-)0/-,5 И = IF'!
Из инвариантности К" вытекает поэтому тождество ,, W , I , 2 \ ЪК" ЬК"
U'w+[V'+T)w + W' Pr = 0-
так что все три уравнения (а) будут удовлетворены, когда гамильтоновы
2
производные К" по U и !F обратятся в нуль, если только Vr -f- — ф 0.
Поэтому при F=I, V = 0 мы можем ограничиться рассмотрением уравнений (62.4). (Я.)
62. Различные формы тензора энергии 271
эквивалентны обоим уравнениям
ЬК" _ ЬА"
V=0, V=0- (С--,!
При вариации, например, X мы получаем
V, С!дК- п , дК-П' I «М-Л .
к,!-= J (жа+Ж'°l+Wcl )*“
Г\дК д(дК\,д*/дК\),^ ,
J j +^Ы|йЫт+П0ВеРХн0СТНЫе ИнтегРальь
При этом уравнения (62.4) принимают лагранжев вид:
Щ" _dW д дК? д* дК7
IjX дк дг дУ dr* дХ" ~
WL = OK-I дК" I dK"
Ijv д'> дг д'/ ' дг2 д'і"
(62.
Из этих уравнений нужно определить X и v.
Мы покажем, что одно точное решение этих уравнений имеет тот же вид, что и решение п. 38, а именно
2 да
е =e4 = Y= l — —• (62.61
г
Действительно, если вычислить частные производные от выражений (62.3) и после дифференцирования вставить значения (62.6) мы получим
