Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
59а. Потеря энергии вращающимся стержнем
259
Нормальная составляющая потока энергии t4 сквозь сферу очень большого радиуса г определяется согласно (50.6а) выражением
df,? д'[ 1 д'[ д\
QQ iV ______ * ’«j? ( ’ 1 _
dt dr 1 2 dt ~dr
________ d'j.jo ______2 ^23 _^Тгз__________d'fS3 <?Тзз^ j__
і
dt dr dt dr dt or
, о d^i I о дЪи d'Ui 01 u 1 dt dr ' dt dr dt dr
1 d'{ ___ Г 2*a , I (y2 + *2)3
2 dt dr p2^2 L Г 4
, Ji + S4 — Gy2S2
1 —cos 2/)(; — r) +
4r4
YS (y*-------«2) . ] *)
------ sin 2p (t — r) '
(59.8a)
При усреднении по всей поверхности сферы периодические члены выпадают, и среднее значение 32л t* оказывается равным
4
**), так что в единицу временн излучается постоянное
4 1/2 \а
количество энергии 4т:г2 • р242, или — ^ I 3/,?31 .
*) При вычислении нужно принять во внимание, что радиальные про-
У 3
ШЗВОДНЫе ОТ , -------- рЭВНЫ НУЛЮ.
гг (Д.)
’*) Вычисление среднего значения выражения, стоящего в скобках.
можно выполнить следующим образом [мы обозначаем при этом среднее
значение f через M(J) ].
По соображениям симметрии
С другой стороны, вводя полярные координаты
X— г COS 0, у = г sin 0 COS 9, 3 = Г sin 0 9ІП Cp,
'2*2
/ у2г2 \
получим для —J значение:
17*
360
Релятивистская механика
Это можно написать также в виде
OO
—• I'1Of'
5
1
M (sin4 0 cos2 'f sin2 ?) = M (8in4 0 Sm2 2?) :
Ь~к <c=r2-
_L 1_
4 4я
b = О ср — О
j* j* sin4 0 sin- 29 sin 0 rf-f (/0 = J Sin^ б c/0 j sin2 «у =
:0 O O
П ~
І- /" Sin3Orffl = —\— ( (e,S—e~lHf>db —
lt> J ./
о о
=?IеШ<1% - \fеЗЙ ,/0+101e= ^ (4- - 4-+10) =• TS ¦
OOU
Поэтому Далее имеем
_ -I « / 2 (*2 + ^ + ,»)2 - 2 (J2C2 + ,2 ,2 + аДуЗ) N ~ 12 V г4 )'
1 „Л 7?2 + + *2У2 \ < Ilf/ У2;2 + ^2 + ^v2
Чі V і4 /о « Ч г* ")
__ j____L_A
~ 6 30 ~ 15 ’
Y5 (у2 - 5а)
Наконед, среднее значение выражения -— также равно нулю,
так как это выражение меняет знак при перестановке у и 5. Поэтому окончательно среднее значение выражения, стоящего в тексте в скобках, 4
подучается равным -g- .
Равенство нулю средних значении коэффициентов при cos 2р {t — »¦) и sin 2р (< — г) можно было бы ожидать и по физическим соображениям, так как полный поток энергии через поверхность сферы достаточно большого радиуса должен быть (в принятом здесь приближении) постоянным откуда и MOHtHO было бы непосредственно получить среднее значешіе
у2;2 -|_ 52.г2 хіу‘і
60. Действие 2OI
где I означает момент инерции стержня относительно его середины *).
Чтобы выразить полученный результат в единицах CGS, примем во внимание, что /2о>6 имеет размерность (см4 г2 сек~6), тогда как скорость изменения энергии имеет размерность (см21 сек~г). Поэтому в (59.9а) нужно добавить множитель размерности
(~") ® ПРИНЯТЬ1Х нами единицах (см. п. 39) 1 г эквивалентен
7,4 • 10“ ‘9 см, а одна секунда — 3 • IO10 см, так что переводный множитель в единицы CGS равен
- 29
2,7 - ЦТ
7,4 • 10 „ _ «А— во
(3 ¦ IO10)3
Например, стержень с массой в 1 и и длиной 2 м, делающий 50 оборотов/сек., теряет в течение годаЗ • 10~35 своей вращательной Энергии.
В п. 74а мы еще раз вернемся к этой задаче и получим тот же рез}глыат другим методом, который обладает по сравнению с настоящим, в главных чертах принадлежащим Эйнштейну, рядом преимуществ.
60. ДЕЙСТВИЕ.
Инвариантный интеграл
л== Ї Г Г Г Po v^9 ^ (волі)
представляет собоїі действие материи в четырехмерной области. По (49.42) мы имеем
А = f J J JutiClWds = J f dm ds, (00.12)
где т—инвариантная масса или энергия.
Следовательно, действие частицы с энергией т в течение собственного времени ds равно т ds, что согласуется с определением действия в обычной механике как произведения энергии
*) Этот момент инерции равен J sx2ih
С ¦> I 2 3 <п-)
262
Релятивистская механика
на время. Согласно (54.6) величину А можно также написать в виде
A = hf f JfcVrzrQdx, (60.2)
так что G Y — 9 или G (с точностью до числового множителя) представляет плотность действия поля тяготения. Заметим, что материальное и гравитационное действия являются просто различными формами одного и того же понятия; поэтому их вовсе не нужно складывать друг с другом для полученпя полного действия.
Когда мы утверждаем, что гравитационное и материальное действия одно и то же, мы должны при этом иметь в виду тот особый смысл, который почти всегда связывается Co словом действие. Co времени введения этого понятия в науку действие всегда рассматривалось как нечто, имеющее единственное raison d’etre (смысл существования) в том, чтобы быть вариированным, более того варшрованным таким способом, который противоречит законам природы. Поэтому мы должны помнить, что тот, кто начинает говорить о действии, вероятно намерен рассматривать невозможные состояния мира (это конечно не означает, что он говорит бессмыслицу—он лишь вскрывает важные свойства возможных состояний, сравнивая их с невозможными состояниями)^ Следовательно, мы не можем совсем итерировать различие между материальным и гравитационным действием; такое различие конечно невозможно, но ведь мы занимаемся как раз рассмотрением невозможных соотношений.
