Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эддингтон А.С. -> "Теория относительности" -> 85

Теория относительности - Эддингтон А.С.

Эддингтон А.С. Теория относительности — М.: ОНТИ, 1934. — 508 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaotnositelnosti1934.djvu
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 176 >> Следующая


dh„„ I Oh г.

V*™--------(а)

дх? 2 дха

Для*° irlogV~ — g мы получаем в том же приближении

д , -г-.:—j—- I dh ,,.

b)

С другой стороны, мы имеем с точностью до величин второго порядка

V4 = о4® Y = 8” й--------S 'ft, Y = = h — 2 h = — А.

lIi '1І® (15 '2 V V

Ёсли мы выразим (а) и (Ь) через T с помощью соотношений

1 •

V = V'—т- Vj-

то вместо (а) получим

" Sv-^t-_____L -L-L R -dL

дхр 2 “ дХр 2 dxz 4 “Р дх, '

а вместо (Ь)

-J-S4

Следовательно,

ъ* і К 1 „А , 1 .V,.

16lt t = — - а-

Ij- дх^ у дхр 2 Sx3 4 a-J

что совпадает с выражением, стоящим в тексте. (И.)
Релятивистская механика

Оба последние члена равны друг другу (так как ведь операторы Sf' и о , переносящие значки вверх и вниз, можно пере-

ставлять со знаком дифференцирования), поэтому все три последние члена дают в сумме нуль. Первый член равен нулю на осно-

др

вании (59.51а). Следовательно, — 0, так что //представляет

собой функцию, которую можно свободно прибавить к решению

(39.4) дифференциального уравнения для 16т:1^*). При р. v это прибавление дает

^ д'{ „ 1 д~{ д'{

32uf ==-------------------------

дх дх‘ 2 дх д.г'

H- H-

где, хотя уже не есть та же самая величина, что в (59.4а), но так же, как и прежде, является допустимым выражением для потенциальной энергии и т. д. Так как каждый из множителей вереи с точностью до величин второго порядка, то все выражение верно с точностью до величин третьего порядка относительно й .

Ii-V

Найдем теперь решение для стержня, вращающегося в плоскости YZ около своей середины. Пусть 2а — его длина, а — масса на единицу длины и ш — угловая скорость вращения. В момент, когда стержень направлен по оси Y, его скорость, имеющая тогда направление оси Z, дает определенную долю составляющей T33 тензора энергии; полная величина ее для всего стержня, кото-

2

рую мы обозначим через {Тав}, равна аш2а3. При этом неизбежно

должно иметь место растяжение стержня в направлении F; если вычислить составляющую напряжения р по законам элементарной динамики и проинтегрировать ее по всей длине стержня, то полная величина составляющей {jT22} окажется равной

----аа)2а3 **).

О

*) Cm. сноску на стр. 250.

**) Действительно, сила напряжения, действующая в сечении стержня, находящемся на расстоянии р от его середины, сообщает элементам соответствующей половины стержня, удаленным от середины на расстояние
59а. Потеря энергии вращающимся стержнем ?

Если же стержень образует с осью Y угол Ы, то соответствующие результаты имеют вид

{Г22}=-{Г83{ 2

осп2 a3 cos 2спt,

2

{Ti3} =------G“s а3 sin 2мt.

Мы получим эти соотношения, если преобразуем вышеуказанные результаты к новым осям с помощью тензорного закона преобразования *).

Решение уравнения DTliv=—ІбігГ для точечного источника {ї'а } определяется [см. (57.6)] выражением

[т L

У — ..... \ ¦ r>'t-r

iULV „ >

r > Р) ускорение — ufir. Значит, составляющая напряжения j> на рас стоянии р от середины равна

U

¦ a J 0)2г =---------------------L Cai2 (а2 — р2).

Следовательно, полная величина р равна

л а

2 J- ~сш2'а2 — р2) ^p = — стш2 ^„2p__^_jj = __|_зш2аЯ. (Я.)

О О

*) Действительно, квадратичная форма ^22У2 + '-? J'* + Г33 z2 имеет ври ? = 0 значение

----1- аЗ (у2 — г2) =-------и>2а аЗ R (у й-)2,

где Rf означает вещественную часть /'. С другой стороны, мы получим формулы преобразования от вращающихся к неподвижным осям, сравнивая в формуле

Уі + «і = (У+^Кш(-

вощественные и мнимые части. Это дает следующее значение квадратичной формы в любой момент I:

- ~ (S)2O «3 R (у _ *5)2 =---1_ Ш2а а3 R (Уі + ih)2 е- 2iu>f =

2

=------g- 03( yt2 C.j2) COS 2ш( -j- 2yj Sj бііі 2u)i,

откуда и следуют приведенные в тексте значения j- . (Н.)

Теория относительности. 37
2 5$

Релятивистская механика

так что, полагая р — 2ш, получим

Т22:

Т-23

Ho это не единственные неравные нулю составляющие 7 t так как хотя, например, [T2^=zO, легко все же убедиться, что вращающийся стержень является «дипольным» источником *). Остальные составляющие можно вычислить из уравнения (59.51а) которое дает следующие соотношения:

v »24 _ dt ) ^ Il дъ
д'їзі _ 0ЛТ28 і ^Тяз
dt 1 d;
> I ^ иг Ilf^ Il = 4

OlJ

(•'9.7а)

Для решения нашей задачи об излучении нам нужно рассмотреть точки, находящиеся на большом расстоянии от стержня,

так что можно сохранить лишь члены порядка и пренебречь

1

величинами порядка . Тогда получаются следующие значения:

^ = Acosp (t —г), ч25 = Asinp (f —г), T33 = —A cosp (t — г), Y24 ~А(------------------^cos p(t — г)—^ sin р (t — г) j ,

Y34 = ^

2 yz

-r~sinp(t — г) cosp(t — r)j ,

sin/> (t r) j ,

2 00а a3

где A= Tj- ——, и может рассматриваться как постоянная пр:г каждом дифференцировании. Точно так же мы найдем, что T = — Til — Tm — T33 + Y44 = Y44-

*) Относительно приндипиальных соображении о необходимости появления в данной задаче «дипольных» источников — см. работу автора, цитированную на стр. ‘2№. (//.)
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed