Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
dh„„ I Oh г.
V*™--------(а)
дх? 2 дха
Для*° irlogV~ — g мы получаем в том же приближении
д , -г-.:—j—- I dh ,,.
b)
С другой стороны, мы имеем с точностью до величин второго порядка
V4 = о4® Y = 8” й--------S 'ft, Y = = h — 2 h = — А.
lIi '1І® (15 '2 V V
Ёсли мы выразим (а) и (Ь) через T с помощью соотношений
1 •
V = V'—т- Vj-
то вместо (а) получим
" Sv-^t-_____L -L-L R -dL
дхр 2 “ дХр 2 dxz 4 “Р дх, '
а вместо (Ь)
-J-S4
Следовательно,
ъ* і К 1 „А , 1 .V,.
16lt t = — - а-
Ij- дх^ у дхр 2 Sx3 4 a-J
что совпадает с выражением, стоящим в тексте. (И.)
Релятивистская механика
Оба последние члена равны друг другу (так как ведь операторы Sf' и о , переносящие значки вверх и вниз, можно пере-
ставлять со знаком дифференцирования), поэтому все три последние члена дают в сумме нуль. Первый член равен нулю на осно-
др
вании (59.51а). Следовательно, — 0, так что //представляет
собой функцию, которую можно свободно прибавить к решению
(39.4) дифференциального уравнения для 16т:1^*). При р. v это прибавление дает
^ д'{ „ 1 д~{ д'{
32uf ==-------------------------
дх дх‘ 2 дх д.г'
H- H-
где, хотя уже не есть та же самая величина, что в (59.4а), но так же, как и прежде, является допустимым выражением для потенциальной энергии и т. д. Так как каждый из множителей вереи с точностью до величин второго порядка, то все выражение верно с точностью до величин третьего порядка относительно й .
Ii-V
Найдем теперь решение для стержня, вращающегося в плоскости YZ около своей середины. Пусть 2а — его длина, а — масса на единицу длины и ш — угловая скорость вращения. В момент, когда стержень направлен по оси Y, его скорость, имеющая тогда направление оси Z, дает определенную долю составляющей T33 тензора энергии; полная величина ее для всего стержня, кото-
2
рую мы обозначим через {Тав}, равна аш2а3. При этом неизбежно
должно иметь место растяжение стержня в направлении F; если вычислить составляющую напряжения р по законам элементарной динамики и проинтегрировать ее по всей длине стержня, то полная величина составляющей {jT22} окажется равной
----аа)2а3 **).
О
*) Cm. сноску на стр. 250.
**) Действительно, сила напряжения, действующая в сечении стержня, находящемся на расстоянии р от его середины, сообщает элементам соответствующей половины стержня, удаленным от середины на расстояние
59а. Потеря энергии вращающимся стержнем ?
Если же стержень образует с осью Y угол Ы, то соответствующие результаты имеют вид
{Г22}=-{Г83{ 2
осп2 a3 cos 2спt,
2
{Ti3} =------G“s а3 sin 2мt.
Мы получим эти соотношения, если преобразуем вышеуказанные результаты к новым осям с помощью тензорного закона преобразования *).
Решение уравнения DTliv=—ІбігГ для точечного источника {ї'а } определяется [см. (57.6)] выражением
[т L
У — ..... \ ¦ r>'t-r
iULV „ >
r > Р) ускорение — ufir. Значит, составляющая напряжения j> на рас стоянии р от середины равна
U
¦ a J 0)2г =---------------------L Cai2 (а2 — р2).
Следовательно, полная величина р равна
л а
2 J- ~сш2'а2 — р2) ^p = — стш2 ^„2p__^_jj = __|_зш2аЯ. (Я.)
О О
*) Действительно, квадратичная форма ^22У2 + '-? J'* + Г33 z2 имеет ври ? = 0 значение
----1- аЗ (у2 — г2) =-------и>2а аЗ R (у й-)2,
где Rf означает вещественную часть /'. С другой стороны, мы получим формулы преобразования от вращающихся к неподвижным осям, сравнивая в формуле
Уі + «і = (У+^Кш(-
вощественные и мнимые части. Это дает следующее значение квадратичной формы в любой момент I:
- ~ (S)2O «3 R (у _ *5)2 =---1_ Ш2а а3 R (Уі + ih)2 е- 2iu>f =
2
=------g- 03( yt2 C.j2) COS 2ш( -j- 2yj Sj бііі 2u)i,
откуда и следуют приведенные в тексте значения j- . (Н.)
Теория относительности. 37
2 5$
Релятивистская механика
так что, полагая р — 2ш, получим
Т22:
Т-23
Ho это не единственные неравные нулю составляющие 7 t так как хотя, например, [T2^=zO, легко все же убедиться, что вращающийся стержень является «дипольным» источником *). Остальные составляющие можно вычислить из уравнения (59.51а) которое дает следующие соотношения:
v »24 _ dt ) ^ Il дъ
д'їзі _ 0ЛТ28 і ^Тяз
dt 1 d;
> I ^ иг Ilf^ Il = 4
OlJ
(•'9.7а)
Для решения нашей задачи об излучении нам нужно рассмотреть точки, находящиеся на большом расстоянии от стержня,
так что можно сохранить лишь члены порядка и пренебречь
1
величинами порядка . Тогда получаются следующие значения:
^ = Acosp (t —г), ч25 = Asinp (f —г), T33 = —A cosp (t — г), Y24 ~А(------------------^cos p(t — г)—^ sin р (t — г) j ,
Y34 = ^
2 yz
-r~sinp(t — г) cosp(t — r)j ,
sin/> (t r) j ,
2 00а a3
где A= Tj- ——, и может рассматриваться как постоянная пр:г каждом дифференцировании. Точно так же мы найдем, что T = — Til — Tm — T33 + Y44 = Y44-
*) Относительно приндипиальных соображении о необходимости появления в данной задаче «дипольных» источников — см. работу автора, цитированную на стр. ‘2№. (//.)