Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
что она подчиняется закону, согласно которому ее расходимости равна нулю; это обстоятельство является с нашей новой точки зрения более простым и значительным, чем простое сохранение.
Проинтегрировав по изолированному материальному телу, можно положить
f I /'tJ dx dy,Ь = — Ж"> J f fl\dxdydz
f f f Т* dx dy tlz = — Mt\ Jjf Т! dx dz
И
f J j Sj dx dvdz- = — M'u'. j’ j j'S3 dx dy dz, = — M' w' j J J Sg dx dy dz- = — MV, j j J dx dy dz- = -j- M',
причем последние выражения содержат потенциальную энергию и количество движения тела. Изменения величин М'п1 и т. д. могут обусловливаться только подведением энергии снаружи через поверхность тела, а изменения Mn и т. д. — только взаимным притяжением его частиц. Очевидно, направление кинематической скорости, т. е. направление мировой линии тела, определяется отношениями и: V: w: 1, тогда как направление и': v': w': 1 изменяется в зависимости от выбора системы координат.
о9а. ПОТЕРЯ ЭНЕРГИИ ВРАЩАЮЩИМСЯ СТЕРЖНЕМ
Рассмотрим материальную систему, находящуюся в периодическом движении и отдающую свою энергию Т* в форме гравитационных волн. Окружим эту систему замкнутой поверхностью S, проходящей в пустом пространстве. Если проинтегрировать (59.3) по области, ограниченной этой поверхностью S, то (при ja = 4) получим
Y1 /// (Т4 -Г К )dxdydz ::=
9S; , dS\ , dSl
л п і dx du dz -- =
дх ' ду ‘ Oi J а
= — J J(/Si + mSl п Si ) dS,
где /, т, п — направляющие косинусы внутренней нормали. Так как на самой поверхности = 0, то это выражение приводится к
следующему
— f -T т *4 + ») dS.
59а. Потеря энергии вращающимся стержнем
253
Если бы можно было отвлечься от изменений в области, ограниченной поверхностью S, то последний интеграл давал бы уменьшение материальной энергии Т* системы в единицу временя. Строго говоря, t* не может оставаться постоянным, когда состояние материальной системы меняется, так как при этом соответствующим образом должно измениться и поле тяготения. При действительном вычислении это изменение t4 не принимается в расчет, так как мы ищем квазистационарное решение *) Такое решение предполагает установившееся состояние как системы, так и окружающего поля, так что всякая потеря энергии должна быть компенсирована непрерывным притоком новой энергии к системе. Очевидно, необходимый ДЛЯ ЭТОГО приток энергии в единицу времени равен
//(«І + т t\ + H t® ) dS. (59.1 a)
Следовательно, составляющие псевдотензора t*, t4, tj образуют «вектор Пойнтинга», поток которого сквозь замкнутую поверхность равен энергии, уносимой гравитационными волнами. То обстоятельство, что этот вектор выражает поток энергии, можно было бы предвидеть по аналогии с , , Т*. Однако, необхо-
димо иметь в виду, что, согласно предыдущему параграфу, потенциальная энергия, протекающая сквозь поверхность S', представляет фикцию; в частности, указываемая этим вектором локализация потока энергии, на которую указывает этот вектор, не имеет никакого физического значения. Поэтому величины t4, t4 , t! нужно считать просто вспомогательными математическими потери чинами, которые необходимы для вычисления полной вели-энергии (59.1а).
Согласно (59.4) и (58.52) для мы получаем
Iftnrtv =
P- ftSj-
д
(59.2а)
Возьмем теперь полученное в п. 57 приближенное решение для таких волн тягогения, которые исходят чз материальных источников. Если
Уг, = Sh-V ~Ь К*’
*) Последнему соответствует «состояние® (здесь: состояние движения), очень медленно меняющееся со временем. (H.)
254
Релятивистская механика
то, с точностью до величин второго порядка,
— Q = I — A2 а А33 Itii = 1 h
Zv = Sliv-^ (Zi1i4 = SliaS7^ ) *)
Поэтому
/V- ^ = Ssiv- ^Aiiv----------------¦
Если положить
то .из (59.32а) вытекает
: h---------------------8 й,
(tv 2 и--' 5
Sr--AT"»
и все выражение (59.2а) сводится к следующему:
Ifer=4?
і* дх
дч 1 дч , 1
v/ і a *v<j lap
! "9“
(59.31а)
(59.32а)
(59.33а)
да?,
S41 Sa -T- Р)>
д
или, еслн вместо 8 -=T— написать-------------,
<4 дх'
2 дх, 4 дХ'
д
16-1'
ді® дії і 1 І 1 ^ дч
' ^ її Kl^lkc' 2~dx^~^~J'
(59.4а)
*) Действительно, для этих значений мы кошем написать с точностью до членов второго порядка
=(V+V) V) = V 8"+*” V-V5I? *" V= V'
так как два последние члена: o’v А,., и
Г*
- V 5°3 8" V = - і5°ч V = -¦V = -»" V
равны и обратим по знаку. (Я).
**) Проделаем это вычисление несколько подробнее. {aB,v} с точностью до величин второго порядка равно
59а. Потеря энергии вращающимся стержнем 255
Уравнения (57.4) и (57.5), определяющие поле тяготения^ можно теперь написать в виде
df <59-51а)
а
? 7; = -16тсҐ\ (59.52a)
В целях облегчения действительного вычисления можно еще больше упростить (59.4а). Если положить
ч д'Ґ д'(1 I .., of?‘ dfx
дх дха 2 дхт дх0
?
P
то получим
дР; д-г? д (дїА к ау
dx t дх^ дхр \ dx t J ‘ дх? дх^ д
I dll 1 d'f'' dK
2 дх,. дх дх 2 дх_ дх дх,3
р |i ч И- і
н, так как здесь по а и р производится суммирование, то это эквивалентно