Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
He вполне ясно, излучают ли гравитационную энергию двойные звезды, но, по всей вероятности, мы получим в этом случае результат того же порядка. Разница между стержнем и двойной звездой заключается в том, что в первом случае систему удерживают в равновесии силы сцеплеиия, а во втором — тяготения. Еслн же для сохранения равновесия ввести достаточно сильное поле тяготения, то его уже нельзя будет считать бесконечно малым, и первое приближение окажется совершенно неприменимым^ Этому же вопросу посвящены замечания в конце п.74а.
58. ЛАГРАНЖЕВА ФОРМА УРАВНЕНИЙ ТЯГОТЕНИЯ. Функция Лагранжа определяется выражением
I2CD6J • 2,7 • 10 60 эргов в секунду.
Q=Sf4Gp4 V-д.
Для бесконечно малой вариации L мы получаем
sL= {}аос, р} о (/')/" — д{^, a})+ {vP, а) 8 (/')/— # {у.а, ?}) —
-Jfiv, а} о [дГ'У — д {с$, ?})—{оф, р} ST/'1 V — g {!IV, а}) —
— ({M-а, Р} И) Ч/У У~ 9)- (58.2>
ІИД
58. Лагранжева форма уравнении тяготения Первый член в (58.2) принимает согласно (27.2) и (35. Ilj
, дды дд?,;
1
у- Pl 3
Vav ч
-9-9' 9
дх.
дх дх
Y (і«,РІ і (у-}-Г/' %г) =
{[ха, З [V — 9 ¦
Al-
дх?
др'
:--1 (Р. *)*(у-9--дх У-
(58.31)
Второй член сводится к тому же выражению. Третий член согласно (35.4) равен
{!XV, а) 8 ( /''-?г V — 9 )¦
(58.32)
При преобразовании четвертого члена мы можем применись уравнение
V — 9 {р, <*} =----(9V — 9),
вытекающее*) из (51.44), так как расходимость дт равна нулю.
Поэтому после некоторых изменений немых значков четвертый член принимает вид
і
(58.33)
Если подставить эти значения в (58.2), то получим
•SL = [- {Р, «} + 9І №0}] Sj^ (/¦' У—9)
Положим далее
gF' =/'/— h\ g|
[{fxa, p}{vp, a) —
— fy-v, аНсф, fs}] 8 (/v Y— g). (58.4
d
(ГУ -9)- (58.45)
*) Заметим, что пои выводе формулы (51.41) антисимметрия A^'1 еще ле бьиа использована.
(Я.)
2'i6 Релятивистская механика
Тогда нз (58.4) вытекают соотношения <?L
I3I(vP) otI — IfxvJ -H5P, РП (58.51)
^ = [ — {р, 5I-Hl* !vP, ,3}), (58.52)
dg*' -JL
д?
если выразить L в функции g*1’ и .
Сравнение с (37.2) приводит к соотношению
G =— д--------------—. (58.0)
дх dg' dg^
7 с>7 о
Этот напоминает уравнения Лагранжа классической динамики. Если рассматривать g'1-' как координату q, а х как четырехмерное время t, так что g^ представляет собой скорость qто уравнения тяготения <7 = 0 соответствуют известным уравнениям
d дL dL_____
Ji Oq' dq
Обе следующие формулы выражают важные свойства функптти Лагранжа:
dL if
«г <»•«»
Первая сразу следует из (58.51). Чтобы доказать вторую,, примем во внимание, что по (30.1)
g-,== ~?г V-з)=У~з -?-+^ у~~9 |,г’s}=
= V-9 [— {ея, ’>¦} /''—{га, vj /*-{- {as, г} /4],
U.V
так как ковариантная производная от <г равпа нулю. Поэтому из (58.52) вытекает
/=V — 9 Hfiv- aI {s«> Ij-! «Г + {!^v, <*} {єя, v} д
— {..V, а} {аг, е} /v—{P} 0*{ез, [і} д”—
— (v°, р! <7* Isa-vI /"+K3-Pl eJ .?Н>
58. Лагранжева форма уравнений тяготения 247
что иосле изменения немых значков согласно (58.1) превращается в выражение
V—9 [{Pv,а)} {^сх, /"+(^,а) (vaJp) 9*— (^a) (iPjP) —
— (VP. PJ (№<*}/4--{aP>Pi (vIba) +
+ (vP5 Р) (>«,«} /vJ= 2L.
Уравнения (58.71) и (58.72) показывают, что лагранжева функция есть однородная функция «координат» порядка — 1, в «скоростей» порядка 2.
Выведем еще одно весьма полезное выражение для G. Согласно
(58.6) имеем
„ м V ач д о L UtV dL
G = S G == ?Г -----------------?Г -----1
дхя dg' ^
а это в силу (58.71) и (58.72) дает
Q = _JL (_^Л _ ____a*' --lL =
<4 V д?} д? dg-
(58.8,
<4 \ д?
Мы видим, что (G-|~ L) имеет вид расходимости (51.12); но величина, расходимость которой равна (О -]- L), не есть векторная плотность, и точно также L не есть скалярная плотность.
Выведем еще одну формулу, которая нам понадобится в п.59. Согласно (35.3)
d (Sr V — ff)=V —ff (dff‘ 4- f" ¦ ~ /° dgaр).
Отсюда, применяя (35.2), получим
V~g) = y=~g (-^4^ + 4^4*)==
= _ (<Г -.1 /' G) У —д . Ag = 8u T1 dg. (58.91)
Следовательно
Реіятивистская механика
Ho
<dh c>L ds'1'1 <?L dgi'
и, так как
дх дх dr. дх ’
а а ,3 р
то (58.92) сводится к уравнению
(58.93)
59. ПСЕВДО-ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ.
Законы сохранения материальной энергии и количества движения формально выражаются уравнениями
Умножим это на dxdydz и проинтегрируем по заданной трехмерной области. Последний член будет иметь вид
а остальные три члена будут поверхностными интегралами по границе области. В таком случае закон (59.1) утверждает, что скорость изменения величины
равна некоторым выражениям, описывающим процессы на границе области. Другими словами, изменения интеграла никогда не могут возникнуть внутри области; их причины должны пере? ходить через ее границу. В этом и заключается смысл «сохранения интеграла».
(59.1)
или, если обозначить координаты через х, у, *, t,
59. Псевдо-тензор энергии гравитационного поля
249
Уравнение (59.1) применимо только к таким координатным системам, для которых нет никакого силового поля. Мы обобщили это уравнение в соответствующее тензорное уравнение T144 = O, которое уже не является математическим выражением сохранения чего-либо. Интересно сравнить этот путь с традиционным методом, в котором уравнение (59.1) обобщается таким образом,что форма закона сохранения явно остается.
