Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
(I _ F2) A22 = (1 - F2) A33 = (I - F2) A29 = 0;
'24
125 -2 FA
14 -
34— г "13’
F2A11 = O
(57.96)
(57.97)
(57.98)
(57.99)
*) При этом только нужно принять во внимание, что все выражения (fipva), у которых значения трех значков равны, должны быть равны нулю вследствие их антисимметрии относительно внешних или внутренних значков. (#¦)
Теория относительности. ^
242
Релятивистская механика
«Коэффициенты возмущения» ft распадаются на три группы:
Поперечно-поперечные /*22, A335 ft23.
Продольно-поперечные A12, A13, A24, Ji34.
Продольно-продольные A11, A14,
Мы увндим, что этн три группы представляют собой возмущения, распространяющиеся совершенно независимо друг от друга; так например, наличие нлн отсутствие продольно-про-дольных волн не оказывает никакого влияния на условия (^7.98), которым должны удовлетворять коэффициенты, характеризующие продольно-поперечные волиы. Мы обозначим эти трн тнпа волн через TT, LT, LL *). Для волн TT величины A22, ft23 и fts8 не могу г одновременно равняться нулю; поэтому из (57.97) следует:
1 — F2 = 0.
Значит, волны TT распространяются со скоростью единицы, т. е. со скоростью света.
Для волн LL и LT величины A22, A23 и A3* равны нулю, и нет никакого независимого уравнения, определяющего V. Значение Vy получающееся из уравнений (57.98) или (57.99), зависит от коэффициентов А характеризующих возмущение, н не обнаруживает никакой тенденции приближаться к скорости света.
Чтобы иметь теперь возможность отделить первичное возмущение пространства-времени от псевдо-волн, обусловленных выбором осциллирующих систем координат, вернемся к рассмотрению тензора Риманна—Кристоффеля (57.93).
Вследствие условий (57.98) н (57.99) пять последних коэффициентов нашей таблицы равны нулю. Остающиеся коэффициенты содержат только А"2, A^3 и А",. Поэтому тензор Риманна—Кристоффеля зависит только от волн ТТ. Для волн LL илн LT тензор Риманна —Кристоффеля равен нулю, так что пространство-вреыя оказывается плоским, а предположенное возмущение — математической фикцией. Эти волны тотчас же исчезают, если прбизвестн соответствующее преобразование координат.
Инвариант .Bivjp B^af зависит только от коэффициентов й" Ag8 и А", характеризующих волны TT, и распространяется с соответствующей скоростью, т. е. со скоростью света. Это подтверждает сделанный нами выше вывод о том, что абсолютные
*) T — transversal (поперечный), L — Iongitndinal (продольный).
57. Гравитационные волны
2 ІЗ
изменения тяготения, не зависящие от координатной системы, распространяются со скоростью света.
Теперь становится ясным также н смысл введенного нами выше ограничения (57.32) координатной системы. Оно было сделано с той целью, чтобы сделать скорость распространения псевдоволн LL или LT равной скорости распространения действительных волн ТТ. Однако, при этом псевдо-волны, распространяющиеся со скоростью света, используют свое сходство с действительными волнами для того, чтобы незаметно ускользнуть от нашего контроля. Изучение вопроса при эхом, конечно, значительно упрощается, так как уравнение Qft=O применимо теперь ко всем волнам; но, с другой стороны, физическое понимание явлений при таком полном слиянии обоих видов волн становится гораздо труднее. Волны TT наиболее общего вида можно разложить на три «составляющие» («поляризованные» волны), соответственно коэффициентам
^23J ^22 ^33» ^22 “Ь ^*33 •
Ho согласно (57.96) распространение волн третьего рода в пустом пространстве невозможно. Это связано с тем, что такие волны несут с собой энергию (причем не псевдо-энергию t’ , которая переносится всеми волнами TT, а действительную энергию T4 ), тогда как тензор T* должен в пустом пространстве равняться нулю. Интересно отметить, что волны третьего рода все же могут распространяться в пространстве, которое хотя и свободно от всякой материи, но не является пустым в буквальном смысле слова. Такими волнами являются световые волиы. Таким образом, электромагнитное распространение гравитационных возмущений заполняет пробел в нашем изложении *).
Интересен далее вопрос о том, будет ли стержень, вращающийся в некоторой плоскости вокруг своей центральной точки, терять энергию в виде излучаемых им волн тяготения. На этот вопрос Эйнште®н**) ответил в утвердительном смысле. Мы вернемся к нему в пп. 59а, 74а, но результат приведем уже здесь. Если I—момент инерции стержня, а о> его угловая скорость, то
*) О доказательстве этого—см Eddingion, Proc. Ноу. Soc. 102 А. 281.
**) Einstein, Berl. Sitznngsber. 1918. стр. 154; ср. также Eddington, 1. с.
Релятивистская механика
величины выражать в такой системе единиц, чтобы постоянная тяготения н скорость света были равны 1. Переходя к единицам CGS, мы получаем выражение
Излучение зависит от асимметрии (точнее, от отклонения от вращательной симметрии) стержня; в случае круглого диска, вращающегося в своей плоскости вокруг своего центра, энергия совсем не будет излучаться. Далее, легко показать, что во всех случаях, с которыми на практике приходится иметь дело, излучение энергии происходит необычайно медленно.