Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
В общем случае, если периодическое гравитационное возмущение распространяется в пространстве, то инвариант В . В^чаf будет периодически меняться, и этому будет соответствовать независимая ни от какой координатной системы периодичность изменения инвариантных свойств пространства-времени. Заклю-
координат изменяет каждый бесконечно малый тензор первого порядка лишь на величины второго порядка.
Действительно, если произвести, например, бесконечно малое преобразование координат
= .9* К + ’«>
то из (23.22) следует
о + h -Ъ
ULV і ULM I
JJLV 1
У /
А , * J?k
+ 0U-B ¦, ' +5 см ¦, ' *
‘' <н дву,
с чностью до величин второго порядка. Следовательно, разность между н /* будет того же порядка величины, что и само поэтому закон распространения h даже приближенно неприменим к h^t.
В противоположность этому, в случае, например, тензора Риманна-Крн-стоффеля B^ap, компоненты которого являются в папгем случае бесконечно малыми величинами первого порядка, мы можем написать с точностью до величин второго порядка:
так что закон распространения B^4af в первом приближении применим
57. Гравитационные волны
239
чить отсюда, что это абсолютное изменение распространяется со скоростью света, было бы, конечно, слишком поспешно. Однако, если мы имеем возмущение, которое уже совсем не связано с создавшей его материальной системой, то с ним может происходить только одно: ЭТО возмущение не может покоиться, потому что абсолютного покоя не существует, оно должно перемещаться) и так как существует только одна (фундаментальная) скорость^ не зависящая от системы отсчета, то ему не остается другого выбора, как перемещаться с этой скоростью.
В случае плоских волн этот вывод можно подтвердить малой части аналитически; одновременно, это исследование сможет осветить вопрос о том, каким образом «сопровождающие волны», зависящие только от волнообразной структуры (осциллирующего характера)выбранных координат, налагаются на первичные волны, представляющие инвариантные возмущения свойств пространства времени. Мы рассмотрим лишь волны бесконечно малой амплитуды и положим, как и прежде,
д =8 -I -ft
° |JLV I JJLV *
Возьмем плоские волны, распространяющиеся со скоростью V в отрицательном направлении оси X, так что величины ftзависят только от (х -]- Vt) и периодичны относительно этого аргумента. Если мы, как обычно, будем писать (хи ж2, ж3, а;4) вместо (ж, у, а, г), то аргумент величин будет равен (X1 -j- Vxi). Если обозначить штрихом дифференцирование по этому аргументу, то
д2д „ д2а „ д2а
(57-91)
а остальные вторые производные у равны нулю.
Тензор Риманна—Кристоффеля мы вычислим с помощью формулы (34.5):
1 / д*а d'2g d2g д2а \
= = т (^ +S1g- - ,(57.92,
'- Sv р (I Ч р !<•!>'
где члены второго порядка (произведения символов Кристоффеля) опущены. Для 21 различных составляющих (см. сноску на стр. 99) из (57.91) и (57.92) легко получаются следующие значения:
2 HO
(1212) :
— h" •
9 22’
Релятивистская механика
1
(1224):
Fft'
(1213) = Л";
(1313) = 4 А",;
(1234) = g- FA" = (1324); (1334)=--14 Fft" ;
(2424)=
1
— F2A • 2 22 '
F2A''
1
(3434) = РАзз;
(1223) = (1323) == (1423) = (2323) = (2324) = (2334) = О (1424) = {га;; -
і
(1434) = -(1214): (1314) =
"13
± Ь"
2 24
2 ^
1
~2 • vKv
1 ~2
1 ~2 щ»
1
~1Г vhW
Vh" rltU - 1 ft" -г ~2 hU
(Г,
(57.93)
(1414) = -^~ F2Aj11
Тензор Эйнштейна Gv., определяется с точностью до величин второго порядка выражением
e^ = Ser B^=Sr (WVO) = Sllp (|xpvo).
Например,
^23 = Sap (2 р Зо) =
—(2131) — (2232) — (2333) + (2434)=-(1213)-0-0 + (2434).
Эти результаты вытекают из антисимметрии тензора В *)
*) Если принять во внимание свойства симметрии относительно внешних значков, указанные в п. 34 [в случае компоненты (2232), и — в случае (2333) — относительно внутренних, значков].
(Il)
57. Гравитационные волны
Zil
Если вычислить также и другие компоненты *), то мы получим окончательно уравнения Эйнштейна в виде:
G11 = — (1212) — (1313) + (1414) = О Gn2 = — (1212) — (2323) + (2424) = О Gs3 = - (1313) — (2323) -j- (3434) = О Gii = - (1414) — (2424) — (3434) — О
Gv
G
({и (і.
із •
(57.94)
-(1323) + (1424)=-0
(1223)-)-(1434) = 0
(1224)4-(1334) = 0 -(1213)4-(2434) = 0
— (12l4)-f(2334) = 0 Gu = - (1314) — (2324) = 0 Если вставить сюда значения ((Apvo) из (57.93), то, опуская 1
общий множитель -д-, получим следующие уравнения:
(Affl+W--2ка;
-А:
22
*33-
44
-?;+*7? (F2A"
‘11
2Vh"
-irnU і
F2A
12
Vhr:
hU)-
(Cr-С)
F^j-FA"
ViK2jTlQ
F2A:
' ^23
23
¦ ftS4 +
AV
22
= 0 = 0 = 0 = 0 = 0
= 0 о = 0 о = 0
} (57.95)
Эти уравнения можно проинтегрировать, попросту уничтожая штрихи, означающие дифференцирование. Постоянные интегрирования должны равняться нулю, так как Aav — периодические функции. Тогда уравнения сведутся к следующим семи соотношениям
к
22 ’
