Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эддингтон А.С. -> "Теория относительности" -> 78

Теория относительности - Эддингтон А.С.

Эддингтон А.С. Теория относительности — М.: ОНТИ, 1934. — 508 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaotnositelnosti1934.djvu
Предыдущая << 1 .. 72 73 74 75 76 77 < 78 > 79 80 81 82 83 84 .. 176 >> Следующая


Пропорциональность инертной и гравитационной массы так же, как и связывающая их «постоянная тяготения»,—все эти понятия относятся к приближенной схеме Ньютона и применимы лишь в случае настолько слабых полей, что уравнения можно считать линейными. Для более сильных полей теория Ньютона становится неоднозначной и вопрос о том, остается ли постоянная тяготения действительно постоянной, когда масса становится очень большой, оказывается праздным. Поэтому мы рассмотрим Здесь только случай очень слабых полей и положим

д = 8 4-Л (57.1)

•'jj.V jj.v I JjLM j \ /

где 8^ имеют значения, соответствующие галилеевым координатам, a ft суть малые величины первого порядка, квадратами ко-

*) Собственно^, говоря, это уже было сделано в п. 46, находящемся в близкой связи с нынешними рассуждениями; однако здесь мы проводим доказательство в обратном порядке.
57. Равенство тяжелой и инертной массы 233

торых можно пренебречь. Производные от д t также представляют собой малые величины первого порядка.

На основании (34.5) мы имеем с точностью до величин второго порядка

1 / д2д д-д. д2д д%д \

Сі 5P R = — I У-'1 I jP It" vP I 94

д 2 \dxdx{i 1 дх^бхч дх.рх, дх^х, /

Попробуем удовлетворить этому уравнению, разделив его на два уравнения

G =i e«f> (57.31)

2 1 cte

« P

0^" ($.-?-?) <57-32>

Второе уравнение с точностью до величин второго порядка можно написать в виде

, дЧ дЧ дЧ

0_§яр I ____JP_______iff

_ ——21 \ — дх OXa I

дх^дх, дх дх? _ .. ^

дч дчі дх

если положить

дх дх., дх дх, дх дх ’

[і -Jl' [і a

h9 = , ft = h? = SapA .

JJ- JJ-ff ? р Up

Это уравнение будет удовлетворено, если

или -L (л- —1 8“Л] = 0.*) (57.4)

дх 2 дх дх \ Y- 2 Y- і ’

*) Приведем здесь данное впервые Д. Гильбертом (Gott. Nachr. 1917; Math. Ann. 92, стр. 22) строгое доказательство того, что выполнения соотношения (57.4) всегда можно добиться бесконечно малым преобразованием координат, так что разделение (57.2) на (57.31) и (57.32) не ограничивает общности. Действительно, положим

=aVT-Sct (хь • • • > Ж4>

где и их производные представляют собой бесконечно малые первого порядка. В таком случае мы можем, обозначая величины, соответствующие
2ЗІ Релятивистская механика

Что касается уравнения (57.31), то оно может быть записано-в виде

? й. =2G , или ? Att = 26?%

I—1 JJLV Jj-V7 1—1 Ji а

откуда следует, что Gr" есть малая величина первого порядка. Поэтому '

? (?; -1з: *) ¦=2 (<?; -1 < • (57.5)

Это «волновое уравнение» можно проинтегрировать. Так как в него входят лишь малые величины первого порядка, то отклонение от геометрии Галилея может изменить решение только на величины второго порядка; поэтому можно применить известное решение *)

К-i V-If (57.6)

где штрихи означают, что интегрирование должно быть распространено по каждому элементу объема dV' на расстоянии г' от рассматриваемой точки и в момент времени t — г', т. е. в такой

новый переменным, черточкой над буквой, написать с точностью до величин второго порядка:

* _Г \д , h .

— У- * I Ij-*- з— -I- У Xv "5— — м -J—=:— -1- ч

^ дх^ 1 дхч дх^

дф

h — A = 2 2В

д (V - дЛ=П5,д. + Й) = 2^- •

V li. г 1 дху. дх,х д.са

dx-,

так что мы окончательно получим соотношение (57.4), выбрав Sfl та. ними, чтобы имело место соотношение

TV-Ic*)

uV дхч ;

но это есть «волновое уравнение», и его mojkho проинтегрировать точно так же, как и (57.5) с помощью запаздывающих потенциалов типа (57.6).

("•>

*) Rayleigh, Theory of Sound, т. 2, стр. 104, уравнение (3). Cm. еще, на пример, С. Schafer, Einfuhrungin die theoretische Physik, т. I, изд. 2, стр. 571, формулы (54), (54а).
57. Гравитавионные волны

2 35

момент времени, чтобы волна, распространяющаяся из dV' со скоростью 1, достигла данной точки в момент t.

Если вычислять с помощью (57.6) значение выражения

J-Ih' — 1 S eA

і о оператор будет означать перемещение рассматриваемой точ-

Ct

ки в пространстве и времени, влекущее за собой изменение г'. Поэтому мы можем считать г' справа постоянным и подвергнуть этому перемещению элемент dV', к которому относится (Tp'. При атом мы получим

_д' ( , * 1 ,«Л . Г ( д

дх

Mo)—/!*”*'-

дГ

Ho так как на основании (55.2) есть величина второго

порядка, то соотношение (57.4) удовлетворяется с требуемой точностью.

В результате мы можем утверждать, что соотношение

? V = 26Vv (57-7>

удовлетворяет уравнениям тяготения с точностью до величин второго порядка, так как при этом оба уравнения, на которые мы разбили (57.2), оказываются выполненными. Конечно, уравнение (57.2) может иметь н другие решения, не удовлетворяющие в отдельности (57.31) и (57.32).

В случае статического поля уравнение (57.7), согласно (54.5), сводится к уравнению

— Ah =2 G =1&Jt _І 8 T

[IV [IV I [IV 2 И14

Далее, в случае покоящейся материи T-Tii = р(р—инертная плотность), тогда как другие составляющие T^i равны нулю. Следовательно

Ah11 — Д/&22 — ДЛ33 — A Hii — 8т:р.

Для одной единственной частицы известное решение ЭТОГО уравнения имеет вид
Предыдущая << 1 .. 72 73 74 75 76 77 < 78 > 79 80 81 82 83 84 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed