Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
ds
рости. Поэтому
uw.vo \ I = dxy: dx2: dxa: dxi.
Нам незачем заниматься точной формулировкой ограничений иеобходимых для того, чтобы узкая трубка потока не отклонялась слишком сильно от общего направления мировой трубки частицы или даже изменяла направление на обратное *).
Эти отклонения большей частью взаимно уничтожились бы при интегрировании T4v по сечению трубки; однако, они во всяком случае должны были бы быть как-то обусловлены сложностью внутренней структуры частицы, что несовместимо с нашим представлением об элементарной частице.
После того как тождество обеих скоростей доказано, мы можем вместо уравнения (53.4), содержащего динамическую скорость, применить уравнение (53.1), в которое входит скорость кинематическая, т. е. уравнение
dx dx .re .-
T^1 = D —? — • (56.1;
1 Po ds ds Из тождества T^'1 =0 следует в виду (51.41)
V^d) = . тЛ=^г (56.2)
Будем теперь интегрировать это равенство по малому четьь рехмерному объему. Каждый из членов левой стороны можно проинтегрировать по одной переменной, что дает
IfJ J T^1 У — д dx2 (Ixi (Ixi -р J J j Т’"'2]/ — Qdx1 dx2 dxi -J- .. .J =
= JJ J J {av, у-}гҐ\ У —д d~. (56.3)
*) Ведь трубки потока могут, например, образовать внутри мировой
трубки частицы винтовые линии с малым ходом. Может также случиться, что кривизна мира меняется внутри частицы так сильно, что введение •естественных координат вообще становится невозможным. Однако, полагаю я, единственное необходимое ограничение заключается в том чтобы р нигде не принимало отрицательного значения.
230
Релятивистская механика
Предположим теперь, что внутри этого объема находится только одна частица, так что тензор энергии равен нулю везде, кроме узкой трубки. Согласно (56.1) четырехкратный интеграл
везде, кроме обеих точек, в которых мировая линия пересекает границы области. Для простоты положим, что эта граница вблизи точек пересечения лежит в плоскостях (Ix1 — 0, так что из четырех интегралов остается лишь первый. Левая сторона уравнения
(56.3) принимает при этом вид
где квадратная скобка означает разность значений, относящихся к обеим конечным точкам мировой линии.
Геометрический объем наклонного цилиндра, вырезанного из трубки двумя сечениями dx.2 dx3 dx0 находящимся друг от друга на расстоянии ds, измеренном вдоль трубки, равен
лиидре количество плотности *) P0, равное mds. Поэтому (56.51) сводится к выражению
где ds означает теперь, как и в (56.4) длину мировой линии между обеими границами.
справа будет равен
так как по (49.42) р0 |/ — д di== p0d W ds = m ds, где т — собственная масса.
На левой стороне (56.3) трехкратные интегралы равны нулю
—- ds dxQ dxo dx,. ds 2 3 4
Умножив его на р0 >/ — д, мы получим содержащееся в пи-
Разность на обеих границах равна
(56.52)
*) Количество плотности в четырехмерном объеме, конечно, не есть масса, а величина, имеющая размерность: масса X время.
56. Динамика частицы
231
Согласно (56.4) и (56.52), уравнение (56.3) сводится к следующему:
d / dx \ , „ , dx_ йх.л
т, = л" (5W)
Если предположить, что m постоянно, это дает уравнение
(28.5) геодезической линии. Таким образом, доказано, что мировая линия изолированной материальной частицы есть геодезическая линия. Постоянство же m можно доказать математически следующим образом.
Из (56.6) следует
dx d { dx \ dx dx dx.
a9>'if т,{п гг)="”1' №,b-'
rto ,і* V ,і* I L"r> J dg ds
iq da
& av
2 dx-.>, ds ds ds 2 ds ds ds
\ _ da dx dx
1 m2 JV' ___________t __2,
2 ds ds ds
Если сложить это уравнение с тем, которое получается из него после перестановки значков р и v, то получим
dx d { dx \ , dx d I dx \
ІЇГ Ж (“ 7г) + " Ж * (”* ) +
dx dx da
+” Sf - ST 5Г = °>
ИЛИ
d I dx dx\
л [9^m df -*2) = 0' dlfffi
В силу (22.1) это дает ——=0. Следовательно, инвариантная
CLS
масса изолированной частицы остается неизменной.
Поэтому мы можем опустить 3-й постулат п. 47, так как он вытекает из закона тяготения. Закон Эйнштейна определяет не только поле, создаваемое тяготеющей материей, но также и движение частицы под влиянием ЭТОГО поля, именно движение вдоль геодезической линии.
232
Релятивистская механика
57. РАВЕНСТВО ТЯЖЕЛОЙ И ИНЕРТНОЙ МАССЫ.
ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ.
Выражение «гравитационная масса» имеет двоякий смысл; оно может относиться либо: 1) к реакциям частицы в поле тяготения, либо 2) к ее способности создавать поле тяготения. В первом смысле равенство гравитационной и инертной массой содержится уже в определении, так как. согласно нашей теории отделение силового поля от поля инерции зависит лишь от нашего произвольного выбора абстрактной геометрии. Поэтому мы будем употреблять это выражение исключительно в смысле 2). Мы показали в пп. 38, 39, что постоянная интегрирования т представляет собой гравитационную массу. Однако, при нашем теперешнем рассмотрений величина р0, входящая в тензор 2* , относится к инертной массе, определенной сохранением энергии и количества движения. Связь устанавливается уравнением (54.3), в левой части которого масса входит постольку, поскольку она определяет величины д f т. е. в связи с ее способностью создавать поле тяготения (или «сопровождаться им»); справа же она входит в тензор энергии, который согласно (53.1) содержит р0. Вспомним, что в (54.3) мы произвольно выбрали множитель 8я; теперь нужно оправдать этот выбор *). Этот множитель пропорциональности соответствует постоянной тяготения Ньютона.
