Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Г = — -HVGrY і1 8Ц і1 2J»- )
Спрашивается, каким образом мы находим этот тензор в природе,какие названия дает наблюдатель его компонентам? Мы сначала делаем предположение, что при употреблении галилеевых или естественных координат Т\ представляет собой количество массы или энергии на единицу объема, Т\, T*, Т*—количество движения с обратным знаком на единицу объема, а остальные составляющие содержат напряжения, как это было подробно разобрано в (53. 91). Это предположение можно потом подтвердить, исследуя, подчиняются ли действительно составляющие T4 тем законам, которые, как мы знаем из опыта, имеют место для массы, количества движения и напряжений. В естественных координатах эти
дГ
эмпирические законы выражаются уравнением * = 0 и эти соотношения действительно выполняются, так как наш тензор, как
56. Динамика частицы
227
следует из его определения, тождественно удовлетворяет уравнению — о. Если же координаты не являются естественными, то тождество T^1 = 0 дает более общий закон
d T ' _ A Ta?
<4 * 2
t*
В последнем случае мы приписываем этой системе отсчета абстрактную геометрию Галилея, н соответственно этому должны были бы отождествить составляющие Г' попрежнему, как будто бы координаты были естественными; но так как при этом появляется возможность смешения единичной клетки с единицей естественного объема, то мы теперь допускаем, что количество движения с обратным знаком и энергия на единицу объема выражаются тензорными плотностями T*, T*, T*, Т*.
В величине, стоящей в правой части уравнения, мы узнаем, в согласии с определением силы, как скорости изменения количества движения,—объемную силу (с обратным знаком), действующую на единицу объема; полагая Ji = I, 2, 3, мы получим три составляющие силы. Если скорость материи, как в большинстве встречающихся задач, очень мала по сравнению со скоростью света, то в правой часги можно оставить лишь составляющую T41 иди р, и тогда сила получается из поля ускорения обычного
1 дди I dgu 1 дди „
вида с составляющими — ^ ^ ^ ^ - Следова-
тельно, потенциал поля ускорения связан с ди соотношением ди =1 — 2 S. Если это приближение недостаточно, то не существует никакого простого поля ускорения; в этом случае ускорение материи зависит не только от ее положения, но также и от скорости, и даже от напряжений. Закон тяготения Эйнштейна для пустого пространства Gv.v = 0 следует сразу из того толкования, которое было приписано тензору T4-
56. ДИНАМИКА ЧАСТИЦЫ.
Изолированная частица представляет собой узкую трубку в четырехмерном пространстве, внутри которой тензор энергии отличен от нуля, и которая окружена областью, где тензор энергии равен нулю. Эта трубка есть мировая линия или путь частицы в мире.
15
F,*
228
Релятивистская механика
Мы получим количество движения и массу частицы, интегрируя Т* по трехмерному объему; ёЬли записать результат в виде
— Ми, — Mv, -— Mw, М,
то M есть масса (по отношению к системе координат), а (и, v, w) — динамическая скорость частицы, т. е. отношение количества движения к массе.
Кинематическая скорость частицы определяется направлением
dcc dcco dx
четырехмерной мировой линией, Т. е. величинами ”—"Т"^ ------------“
ахл dx± dx^
вдоль трубки. В случае непрерывной материи тензор энергии нельзя разделить на трубки, так что понятие кинематической скорости, вовсе не может возникнуть.
Мы должны теперь доказать, что кинематическая скорость частицы равна ее динамической скорости. Строгое математическое доказательство весьма затруднительно, так как необходимо было бы сформулировать такие условия непрерывности тензора энергии внутри бесконечно тонкой трубки, которые, например, исключали бы возможность одновременного присутствия частицы в различных местах; однако, следующие соображения можно невидимому считать достаточными.
Закон сохранения (в естественных координатах)
OTil OTi 2 OTia дхл * дх2 дх3 cte4
аналогичен трехмерному соотношению для электростатической силы
дХ dY ,dZ_ дх*~ду‘д s
Последнее уравнение в связи с теоремой Гаусса приводит к понятию единичных силовых трубок, имеющих в каждой точке направление (X, Y, Z). Поток этого вектора один и тот же сквозь любое сечение трубки. Эти трубки заполняют все пространство» Совершенно аналогично этому в четырех измерениях можно вывести из теоремы Гаусса, что поток Ti4 сквозь любую замкнутую (трехмерную) поверхность равен нулю; поэтому мы можем так жег как и в электростатике, построить трубки постоянного потока, имеющие в каждой точке направление Tii. Ни одна из этих трубок не может пересекать боковые стенки мировой трубки частицы, так как вне этой мировой трубки Ti' равно нулю, и, следовательно, условие постоянства потока не может быть удовлетворено.
56. Динамика частицы
2 29
"Поэтому трубки потока должны в среднем иметь то же направление, что и мировая трубка. Ho трубки потока имеют направление (рм, ро, рго, р) вектора T4v, т. е. динамической ско-
(ІЗ7
рости, а мировая трубка — направление __________? кинематической еко-
