Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Так как из всех трех величин при теоретических исследованиях чаще всего пользуются р0, то в дальнейшем мы будем называть эту величину собственной плотностью (или инвариантной плотностью) без дальнейших указаний.
55. СИЛА.
На основании (51.2) уравнение (T7^)v = O принимает вид
У^дІс-КУ-з) = M Г. (55.1)
*) Некоторые авторы определяли несжимаемость с помощью условия Poo = const. Ho такое определение заведомо ведет к большой путанице.
**) Весьма возможно, что при весьма плотном расположении атомов напряжения в значительной мере будут создаваться не максвелловыми силами (квантовые явления!). Ho так как мы, с другой стороны, не знаем, влияют ли такие силы на значение р0, то остается все же неясным, можно ли считать уравнение р0 = const точным выражением условия несжимаемости.
Релятивистская механика
Если мы выберем координаты так, что ]/"—^ = 1, то
(55.2)
В большинстве приложений скорость материи необычайно мала по сравнению со скоростью света, так что в правой стороне
Это согласуется с уравнением (53.92) классической механики, если
Следовательно, трехзначковые символы можно интерпретировать как составляющие силового поля. Три выписанные нами составляющие играют наибольшую роль; они пропорциональны массе или энергии; другие, которыми механика Ньютона пренебрегает, связаны с количеством движения и напряжениями, образующими остальные составляющие тензора энергии.
Ограничение Y — д = 1 несущественно, если мы примем в расчет смешение тензорных плотностей и тензоров, на возможность которого было указано в конце п. 49. Вспомним, что сила (X, Г, Z) появилась в формулах потому, что наша координатная сетка относится к абстрактной галилеевой геометрии, которая не является естественной геометрией (ср. п. 16). Случайно нли намеренно, мы поставили себя в положение наблюдателя, который свою не-галп-лееву координатную сетку ошибочно считает прямоугольными координатами и временем. Поэтому мы отождествляем единичную клетку с единицей естественного объема, а плотность тензора Энергии на единичную клетку смешиваем с самым тензором
энергии, T^, приходящимся на единицу естественного объема. На этом основании сохранение предполагаемого тензора энергии
этого уравнения величина Т\ = р будет гораздо больше других компонент тензора Т\ Если в первом приближении пренебречь другими компонентами, мы получим
(55.3)
-X= {14,4}, -F= {24,4}, — Z — {34,4). (55.4)
должно было бы аналитически выражаться уравнением-^—- = О,
V
55 Сила
225
а в случае наличия силового поля, уравнения классической гидродинамики должны были бы быть написаны в виде
Af=T4 <41I ,4
- d "р __ j* дхч 2 4
д «,v___*4
W 3“ 4
V
д ______«р4
~дх 4 — 4
• (-X) .(-Y) .(-Z) '(0)
(55.51)
причем предполагаемая плотность р в действительности есть «плотность плотности» р У—g или T4 *).
Так как (55.1) эквивалентно уравнению
^t;= К а}т;, (55.52)
то результат (55.4) имеет место при любом значении У—д.
Для вычисления можно использовать также формулу
(51.51), так как она дает
d .pV
дх Iі
J_TccP
2 дх '
v-
(55.6)
*) Может показаться, что гораздо удобнее избежать этого смешения, отождествляя с самого начала энергию, количество движения и напряжение с составляющими T^, вместо того, чтобы итти обходным путем и сначала отождествить эти величины с Г1, а потом заметить, что вместо этого тензора мы в действительности пользуемся величиной Т\ Это затруд. пяется, однако, тем обстоятельством, что мы ие всегда кладем в основу нашей координатной системы абстрактную галилееву геометрию. Если выбрать, например, полярные координаты, то нет никакого основания ожидать смешения площади drdbdy единичной клетки, к которой относится
тензорная плотность T^, с естественным объемом r2 sin SrfrrfOrftp; в таких случаях гораздо целесообразнее использовать величины как меру
плотности энергии, количества движения и напряжения. Только тогда, когда мы вследствие особой склонности кладем абстрактную геометрию Галилея в основу таких координат, для которых она не является в точности естественной геометрией, T^ автоматически начинает выражать величины, которые в действительности должны быть представлены тензором Т\ Теория относительности.
15
226
Релятивистская механика
Если на правой стороне сохранить лишь главную составляющую T44, то сравнение с (55.51) приводит к соотношениям
X=-T-W’r=-T> -T %*• <55-7)
Отсюда для статической координатной системы получаем Xdx+Ydy + Zd* = —4(? dx + ^ йУ + ? d*) =
- 1 /
2 Ут
так что компоненты X, Y, Z получаются из потенциала
1
Q= — ^44-I-const.
Если выбрать постоянную так, чтобы ^44 = I3 KorAa^Q = O, то
^44 = 1 — 2 Q. (55.8)
Формулы (15.4) и (38.8) представляют собой те частные случаи Этого соотношения, в которых й есть или потенциал центробежной силы, или потенциал сил тяготения Ньютона.
Рассмотрим теперь вкратце важнейшие этапы нашего нового вывода законов механики и тяготения. При этом сосредоточим внимание на мировом тензоре T^, определенном соотношением
