Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
(ГегХ-(Г >,-(*’ GJ1=O.
Эквивалентное уравнению (52.1).
Необходимо подчеркнуть, что соотношения
Gv — ov G\ G^ = О,
[XV & JJ. P OtV J
выведенные вновь таким образом, не ограничивают столь сильно возможных значений G*, как соотношения между самими этими величинами; так например, если шесть из них равны нулю, то отсюда совсем не следует необходимость равенства нулю также и остальных четырех. Что же касается 40 ковариантных производных (??*)„, то четыре нз них зависят от остальных 36, так что из равенства нулю 36 величин следует равенство нулю ,всех
40. Это оказывается существенным при исследовании уравнений тяготения.
S3. Тензор энергии
2І5
53. ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ.
dx
Пусть P0 есть собственная плотность материи, а относит-
ся к движению материи; далее напишем, как и в (46.8):
dx dx
— о _____Vl ___1
0 ds ds
(їїЗ. 1)
В таком случае Tikl (на ряду с соответствующими смешанными и ковариантными тензорами) называют материальным тензором энергии (или тензором импульса-энергии).
Для материи, движущейся с какой-либо скоростью по отношению к какой-нибудь системе галилеевых координат, плотность р (плотность масеы, ср. п. 14) определяется выражением
'dt Po 1-Х
(53.2)
так как сокращение Фицджеральда
dt
ds
входит, как показы-
вает формула (14.2), два раза: один раз вследствие увеличения массы со скоростью и второй раз—вследствие уменьшения объема. Поэтому в галилеевых координатах
dx dx
_____t_______I
dt dt
(53.3)
или если, U, V, w будут составляющими скорости,
P И2, PVU1 P WU, р W
PUV, pt>2, PWD1 pv PUW, PVW, рW2, PW P и, pv, P W, р
(53.4)
В случае материи, построенной из атомов, объем, который при макроскопическом рассмотрении считается очень малым, соде]?-жит частицы с самым различными движениями. Поэтому отдельные члены в (53.4) нужно просуммировать для различных движений частиц. При макроскопическом рассмотрении суммирование может быть произведено следующим образом.
Пусть (м, V, w) относятся к движению центра тяжести элемента объема, a (M1, V1, W1) — к внутреннему движению частиц
Релятивистская механика
относительно *) центра тяжести. Тогда смешапные произведения в таких членах нашего тензора, как Гр (и -j- ^1) (ю -j- V1) обращаются в нуль, так что остаются лишь члены вида ? р«г> —[—S PM1P1. Ho SpM1P1 выражает перенос количества движения, соответствующего скорости и теми частицами **), которые проходят через плоскость, перпендикулярную к оси F; поэтому эта сумма равна тому внутреннему напряжению, которое обычно обозначается через Pxy- Следовательно, к выражению (53.4) нужно прибавить тензор, образованный из внутренних напряжений, причем на месте членов рм, pv, рw, р в нем будут стоять нули. Знак суммирования можно опустить, если р означает плотность макроскопического элемента объема, а и, v, w относятся к его среднему или макроскопическому движению. В таком случае тензор получает вид
[Р,
! Px
I
• Otl
Pfl
5 t' ух PbV-
Рп™, pyz-ри,
Р»М, Pzx “Г PWW> Pu Рю2> Pzy+ PWV1 Pv Pvw. P« + Pw2) Pw pv, рW, р ]
(53.5)
Рассмотрим теперь уравнения
дТ^‘
дх
= 0;
при р. = 4 они дают согласно (53.5)
<?(р«) , (^(Pp) i д(ргс)
(53.6)
(53.71)
дх ‘ ду
а это есть известное гидродинамическое уравнение непрерывности. При [J- = I мы получаем в виду (53.71)
dPx., , dpW . дрхг __ __ / д (рФ) д (рм?-) (
др"
' dt
дх ду d(pvw) , d(p «) X г
dt
\ дх ду '
д(ри) д (р о) д(рю) dz
— P
ди . ди .
мГТ»т-Ти дх ду 1
дх
ди
ду
, ди dz dt
)-
Du
'9Dt'
0-
(53.72)
’) В смысле элементарной механики; следовательно, обычные разности скоростей.
**) Так как каждый член этой суммы есть произведение составляющей количества движения р щ на составляющую скорости V1 по оси Т. (Я.)
53. Тензор энергии
217
Здесь — представляет собой ускорение элемента жидкости.
Это есть известное уравнение гидродинамики для случая отсутствия объемных сил. Вспомним, что введение галилеевых координат устранило всякое силовое поле, действующее на массу жидкости.
Уравнения (53.71) и (53.72) непосредственно выражают сохранение массы и количества движения, так что в случае галилеевых координат оба эти принципа содержатся в уравнении
дх
V
дТ
Действительно, есть увеличение количества движения и
массы на единицу объема. В классической гидродинамике количество движения может возникать в некотором объеме в результате действия объемных СИЛ рХ, рУ, P Z (т. е. ПОЯВЛЯТЬСЯ В ЭТОМ объеме, не переходя через его границы), и соответствующие члены должны в таком случае быть прибавлены к правой стороне уравнения (53.72). Что же касается возникновения массы, то, в противоположность случаю количества движения, это считается невозможным. Поэтому общие уравнения классической гидродинамики имеют вид
PF. Pz5 0). (53.81)
V
В частной теории относительности масса эквивалентно энергии, и поэтому объемные силы, действуя на частицы, будут вызывать появление новой массы, так что здесь мы можем написать
