Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
<51-42>
Если ввести тензорные плотности, то наши результаты принимают следующий вид:
для симметричных тензоров
An — d »v____«азdg3
“ дхч » 2 А -fa-i (51.ol)
для антисимметричных тензоров
K = -IfcW'- (51.52)
5-2. ЧЕТЫРЕ ТОЖДЕСТВА.
Докажем теперь основную теорему механики:
V 1
Расходимость G —-^g4 G тождественно равна нулю. (52,
Iа л
В случае трех измерений равенство нулю расходимости дает уравнение непрерывности потока, как например в гидродинамике
du dv.dw-.-, ~
~Вх ~ду'~дъ~ ^сли прибавить временную координату, то,
U*
212
Релятивистская механика
как мы подробнее увидим дальше, получается условие сохранения или постоянства. Мы увидим, насколько важно для теории материальною мира открытие мировою тензора, который по своей природе остается постоянным.
Мне кажется, что теорему (52) возможно доказать и чисто геометрически с помощью дальнейшего развития соображений § 33. Однако, я не был в состоянии найти это геометрическое доказательство, и поэтому должен ограничиться несколько громоздким аналитическим подтверждением.
По правилам ковариантного дифференцирования имеем
dG 3G
дх дх
і (і
Следовательно, наша теорема сводится к равенству
(521>
и.
Полагая jjl = 1, 2, 3, 4, мы получим четыре тождества, упомянутые в п. 37. Согласно (51.32) имеем, с одной стороны,
G- =—— -- (& ЛГ— V1G д9*
V у-— дх^у—д;+тG*^ ’
и так как G = g • Ga^, то, с другой стороны,
1 дв _ 1 ,э dG* 1 д0*
2 дх,. 2 9 дх 2 “Р дх'
^ (X (X
Поэтому тождество (52.1) сводится к следующему:
(52-2)
Тензорное соотношение (52) будет доказано, если мы покажем, что оно справедливо в некоторой определенной координатной системе; мы должны позаботиться только о том, чтобы наш частный выбор координатной системы не ограничивал свойств пространства-времени, иначе он уничтожил бы общность доказательства. Как было показано в п. 36, мы можем в каждом пространственно-временном многообразии всегда выбрать координаты таким обра-
дд
Зом, чтобы все первые производные величин д^.-, в некоторой
G
определенной точке сделались равными нулю; поэтому мы упрог
52. Четыре тождества 2 Л?
отим вычисления, выбрав такие координаты, при которых в рассматриваемой точке
дд
4-' = 0- (52.3)
ох 4 '
а
Конечно, ЭТО условие можно использовать лишь после того,
как будут произведены все дифференцирования. Тогда левая сторона (52.2) принимает вид
{g1 V~u) = -X= {дг' </е V—g • в ) Y^gOx4 *Y V—g dx4
На основании (52.3) выражение g' g^V—g можно вынести за знак дифференцирования, что приведет к результату
VT M г,
а а --г—В
у у сЦ JlTjf
В силу (34.5) это можно написать в виде
I VX Vd ( ' d2g^ ^ 62 9^
2 9 У fix \дх дх дх дх дх дх дх дх
у\[хт р а р т р. ;
Другие члены выражения В здесь не выписаны, так кап «ни представляют собой произведения двух множителей, обращающихся в нуль (трехзначковых символов), так что после дифференцирования по хч всегда остается один множитель, равный нулю.
Если в третьем члене (52.4) переставить о с х и р с v, то он
в сумме со вторым членом дает нуль н остается
1 d (п-'лГ-ч_ 1 -х чд (dIIlL. д'2 9г- \ /го - П
V~a dx Iі 9 2 9 9 дх (дх дх дх дх у*.(0--э )
Kyv \ [Л х и. т/
Точно также правая сторона (52.2) принимает вид
і , dG „ і 3G Л д
1 «3 аЗ 1 'Vt X vt t/ г jo п \
I9 ~д~Г Y9 дх ~~29 дх^9 n^)-
Y-Y-I1-
I .VX аР д ( д2 gрз д2 g,r _ d2 g„ д- 9fz
NT ар v і . ^ р" j
4 9 9 дх \дх дх дх дх дх дх дх дх
у. \ v т р ? P v с,
1 д ( д2 о д'2 \
= (52-52)
[J. \ V T VO/
так как после перестановки о с т и р с » во втором и четвертом членах предпоследнего выражения эти члены становятся равны друг другу и обратны по знаку.
ш
Релятивистская механика
Если сравнить (52.51) и (52.52), то окажется, что наше утверждение доказано, если положенная в основу координатная система обладает в рассматриваемой точке свойствам (52.3); но так как речь идет о тензорном уравнении, то результат должен быть верея в любой системе координат.
Мы дадим в заключение еще более короткое доказательство.
Тождество
KX + к Д + KX = о> (52. б>
в котором последние значки означают ковариантное дифференцирование, может быть легко доказано непосредственной подстановкой значений из (34.4). Совсем незачем производить при этом все алгебраические выкладки; вычисления достаточно вести до тех пор, пока мы убедимся, что вторые производные Трехзначко-вых символов, будучи взяты в виде циклической суммы, дали нуль, и что все остальные члены содержат по крайней мере один недифференцированный трехзначковый символ в качестве множителя. В таком случае это выражение будет равно нулю, если в рассматриваемой точке ввести естественные координаты; но так как оно представляет собой тензор, то равенство нулю должно иметь место в любой системе координат. Если опустить значок е и принять во внимание свойства антисимметрии тензора, то тождество (52.6) принимает вид
(Avae)T — (ЯртД — (yWX = O5
IXV OS
откуда после умножения на дг д получается уравнение
