Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Сначала нужно выяснить, что мы понимаем под словом «несжимаемый». Если изолировать элемент вращающегося диска и отнести его к осям, по отношению к которым оп не имеет ни скорости, ни ускорения (собственная мера), то этот элемент будет находиться в таком же состоянии, как и элемент покоящегося диска, отнесенный к неподвижным осям, с той только разницей, что наш изолированный элемент подвергается давлению, связанному с силами сцепления окружающего вещестга. В таком случае слово несжимаемый означает, что никакое распределение давления не мо-
*) Nature, 106, 795.
208
Релятивистская механика
жет вызвать изменения плотности расположения молекул; поэтому эта плотность о (выраженная в собственной мере — ср. п. 14) будет такой же, как и для элемента не вращающегося диска; наоборот, плотность о', отнесенная к неподвижным в пространстве координатным осям, вполне может отличаться от нее.
На основании (14.1) мы можем положить
о' = О (1 -С02Г2) 2 ,
так как ведь со г есть скорость элемента. Эт0) действительно, даст правильный результат. Однако, в п. 14 ускорение не было принято во внимание, и нам нужно действовать более строго. Примем за вращающуюся систему штрихование координаты п. 15, тогда с помощью (15.4) легко найдем, что
V=F = I;
так как х/, х/, Xs' постоянны для элемента диске, то собственное время равняетсв
ds — 1 —со2 (ж/2 -j- X2'2) dx/.
Если dW есть собственный объем элемента, то из (49.42) получаем
d Wds =Y^g' dx/ dx/ dx/ dx/.
Следовательно
_ ?
d W = f I — ев2 (x/‘- -j- ж/2)] 2 dx/ dx/ dx/ =
_ і
= (1 — ев2 r'2) 2 r' dr' db' dx/.
Если толщина диска Zx/ = b, а его край'определяется условием г' — а', то полное число частиц в диске равно
a' j
IV = J adW=2mb f (1— со V2)-2V dr'.
о
Так как это число не изменяется при вращении, то а' должно быть такой функцией от со, чтобы
і
(1 — со2 г'2) 2r'dr' = const,
о
иди
U
/<•
^j(l ----- V^----0)2 а 2) = const.
50. Проблема вращающегося лиска
209
Разлагая кваДратный корень в ряд, по-пчаем приближенно
так что, если а — радиус диска в состоянии покоя, то между « п а' имеет место соотношение
Отметим, что и' есть радиус вращающегося диска, измеренный неподвижными масштабами, так как вращающиеся и неподвижные координаты связаны друг с другом элементарным преобразованием (15.3).
Мы видим, следовательно, что действительное сокращение представляет собой четверть того, которое мы получилп бы при непосредственном применении формулы Фицджеральда к окружности диска.
В приведенном доказательстве мы предполагали, что толщина Ь диска при вращении остается неизменной. Правильность этого предположения следует из общего принципа, уже примененного выше, согласно которому элемент вращающегося диска, отнесенный к собственной системе координат, в точности равен соответствующему элементу невращающегося диска, отнесенному к обычным прямоугольным координатам, так как напряжения, возникающие при вращении, не могут вследствие абсолютной несжимаемости и твердости повлиять на расположение молекул, которое в собственных координатах будет одинаковым во вращающихся и в невращающихся элементах диска; следовательно, какое-либо различие между вращающимся и невращающимся элементом должно быть различием в описании, но не во внутренней структуре. Так как при преобразовании к собственной мере координата з вообще не преобразуется, то и толщина Ъ диска, т. е. длина цепочки молекул от нижней до верхней поверхности, остается неизменной.
Теория относительности. 14
Отсюда следует с той же точностью
41Q
Релятивистская механика
51. РАСХОДИМОСТЬ ТЕНЗОРА
В элементарном векторном анализе важную роль играет расходимость
дХ оТ dZ_
д% ду dz ’
которую можно в известной мере истолковать геометрически. В нашем общем обозначении это выражение принимает вид
дА1
дх
Y-
Очевидно, что мы получим более основную операцию, если вместо обычной производной возьмем ковариантную; это приведет нас к инварианту
(А-
Поэтому мы определим расходимость тензора, как его сокращенную ковариантную производную.
Из (29.4) мы получим, принимая во внимание (35.4),
/ J.4 ^ Ir 1 Л3 I ^ 1 d ----
И. = f^' ЛА-’Щ+Л =
так как е можно заменить на ;л. С помощью тензорных плотностей это можно записать так:
л; = (51.12)
Расходимость тензора A4 на основании (30.2) после аналогичных преобразований примет вид
= ^jr {av’v} aI ~{,1V> a} = 7= і -
— {jav, a} A'‘a. (51.2)
Здесь последний член равен
I (dO.,. , dgw? d!L. x о..
51. Расходимость тензора. 52. Четыре тождества 211
Если есть симметричный тензор, то, переставляя значки P и V, мы убедимся, что два члена в скобках уничтожаются
I
взаимно, и остается---------А .
’ 2 дх
Отсюда получаем для симметричных тензоров
ю.' <и¦31>
илн по (35.2)
Y— g dx 2 §xA*?’ (51-32)
В случае антисимметричных тензоров, напротив, удобнее употреблять компоненты с верхними значками
(^ 'X = + (av) v) + IavJ Ij-Ma''- (51 41)
V
Последний член в силу антисимметрии равен нулю. Следовательно,
