Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эддингтон А.С. -> "Теория относительности" -> 69

Теория относительности - Эддингтон А.С.

Эддингтон А.С. Теория относительности — М.: ОНТИ, 1934. — 508 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaotnositelnosti1934.djvu
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 176 >> Следующая


Физическую величину второго рода можно выразить также словами „столько-то иа единицу естественного объема (]/ —д dz)“; в таком случае оиа будет представлена в виде тензора. В физическом отношении может быть столь же целесообразно выражать ее в этой форме, как и в форме тензорной плотности, т. е. словами „столько-то на единичную клетку (с^т)“. Однако, в аналитическом отношении последнее было бы несколько непоследовательно, так как при этом нам пришлось бы одновременно ввести две координатные системы: одну явно, для выражения соответствующей физической величины,
49. Тензорный объем

205

а другую (естественную систему) неявно для измерения объема, содержащего эту величину. Представление величин второго рода посредством тензоров нельзя считать физически неправильным; однако, постоянное появление У—9 в формулах обнаруживает нашу бессознательную ссылку на естественный объем У—gdi.

В любом пространстве-времени можно выбрать координаты таким образом, чтобы у—д было везде равно 1; действительно, если пронзйольным образом построить три системы координатных поверхностей, то всегда можно расположить четвертую так, чтобы все клетки имелн одинаковый естественный объем. В таких координатных системах тензоры и тензорные плотности эквивалентны, и поэтому вычисления упрощаются; но, хотя это ограничение не ведет к уменьшению общности, оно может затемнить более глубокий смысл теории и поэтому, вообще говоря, введение его нежелательно.

В заключение, имея в виду дальнейшие исследования, мы введем еще одно понятие.

Если разделить тензор на У—д, то получится величина, которую мы назовем тензорным обЪемом, точнее обЪемом тензора. Мы будем обозначать тензорные объемы особым шрифтом рондо, так что например:

Г'^Г-'У^д, ^ = у==-. (49.6)

Очевидно, что есть инвариант, так что действия рондо

и жирного шрифта взаимно уничтожаются.

Согласно (49.2) dV есть скалярный объем и, следовательно, его нужно было бы обозначить через d°f.

Совокупность чисел Sot^;; представляет собой одновременно контравариантную тензорную плотность и ковариантный тензорный объем *).

*) Действительно, из (48.65) следует, что

Єайт5 -р,

— — = Г„3Т8,

Y-9

где правая сторона есть контравариантный тензор. Бели перенести значки вниз, то получим:

а @7 § . г - 9&а^у5 Y 9 єа р 5 *
2 06

Релятивистская механика

Поэтому мы можем положить

ГРт4. (49.7)

Произведение Siipy6 Е“Р1(Ь , очевидно, должно быть инвариантным. В действительности это и имеет место, так как в силу (48.31) это произведение имеет постоянное значение 4!

С помощью этих коэффициентов можно каждому антисимметричному тензору сопост&еить ковариантный тензорный объем. Это обстоятельство особенно важно в применении к одно-, двух-, трех- и четырех мерным элементам пространства, которые ведь (кроме одномерного случая) и представляют собою антисимметричные контравариантные тензоры. Так например, четырехмерный Элемент объема может быть задан либо посредством тензора dлибо посредством скалярного объема d°f, причем эти величины связаны друг с другом соотношение»!

4!d°? = S в

Подобно этому элемент поверхности может быть представлен либо в виде dS'^i либо в виде d$>'^, нричем

^8- (49.8)

Необходимо отметить, что штрих при совершенно необходим; так как результатом операции (49.8) не будет т. е. вели-

чина, которая, согласно нашим прежним определениям получается из dSa\ если опустить оба значка вниз и разделить на У—д,

В элементарной (трехмерной) теории этим путем получается выражение элемента поверхности посредством сопоставленного ей вектора. Если положить

то векторный объем d$a' может служить мерой элемента поверхности. Однако элементарная теория (ограничивающаяся прямоугольными координатами) не различает векторов от векторных объемов.

Из ковариантного антисимметричного тензора можно образовать две различные тензорные плотности: и F/a?, именно:

F* = дч HP* FibV~g, F^ = Eapr8F8, (49.81)

причем последняя получается из простой пересіаяовііой

компонент.
50. Проблема вращающегося диска

26 7

В качестве примера докажем, что

1 ! I __ I

і % I Недействительно, это уравнение эквивалентно следующему

Здесь обе стороны представляют собой квадрат скалярной плотности и поэтому преобразуются по одинаковому закону. В естественных координатах оба детерминанта тождественны; следовательно, их зиачения совпадают во всех координатных системах.

60. ПРОБЛЕМА ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ДИСКА

Займемся теперь одной проблемой, имеющей некоторый исторический интерес.

Будем вращать с угловой скоростьш ев абсолютно твердый круговой диск из однородного несжимаемого материала и выясним изменение длины его радиуса.

Яас теперь уже не должен смущать старый парадокс, связанный с этой проблемой и заключающийся в тем, что окружность, движущаяся со скоростью, касательной к ней в каждой точке, должна укорачиваться, тогда как радиус, перемещающийся в направлении, перпендикулярном к его собственному, н® доджей измениться. В этом случае (как подробно выяснено например в книге «Пространство, время, тяготение», стр. 76) частяая теория относительности как раз становится неприменимой в связи с наличием сильно меняющихся ускорений. Общая же теория относительности дает количествен вое решение этой проблемы, которое впервые было получено ЛореН0ОМ*) с помощью метода, отличного от применяемого здесь.
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed