Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эддингтон А.С. -> "Теория относительности" -> 68

Теория относительности - Эддингтон А.С.

Эддингтон А.С. Теория относительности — М.: ОНТИ, 1934. — 508 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaotnositelnosti1934.djvu
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 176 >> Следующая


У—д • dV есть также инвариант. (49.2)

Так как знак ^F1234 зависит от определенного порядка перечисления углов параллелепипеда, который, вообще говоря, совершенно несуществен, то для представления объемного элемента обычно используется только положительная величина dV. Суммируя по бесконечно малым элементам объема, мы приходим к утверждению, что выражение

* VzrHtir (49.3)

есть инвариант, если интеграл взят по какой-либо области, определенной независимо от координатной системы.

Если четырехкратный интеграл рассматривать как предел суммы, то можно выбрать бесконечно малые параллелепипеды,
202 Релятивистская механика

произвольной формы и ориентации; однако, для аналитического интегрирования мы выберем параллелепипеды так, чтобы они совпадали с клетками положенной в основу координатной сетки, т. е. возьмем

Z1Xf, -(Clx1, 0, 0, 0), o2av=(0, dx2, 0, 0) и т. д.

Тогда (49.1) сводится к диагональному члену d V — dxidx2dx.i(s'xi.

Выраженный таким образом элемент объема мы обозначим іерез dx, гак что

dz = dx^dx^lx^dx^.

Обычно нет необходимости проводить различие между dx и более о€щим выражением dV, и мы будем считать У—gdx инвариантом. Строго говоря, мы подразумеваем при этом, что У-gdx ведет себя как инвариант при интегрирования по объему,

тогда как У — д dV представляет собой нстшшый инвариант *).

В случае галилеевых кордииат х, у, г, t величина ]/ — д = 1, так что

У—д dx = dx dy dz dt. (49.41)

Если мы представим себе затем в этой галнлееяой системе покоящегося наблюдателя, то для него dx dy dz представляет собой элемент (трехмерного) собственного объема dW, a dt — элемент собственного времени ds. Поэтому

y=gdx = dWds. (49.42)

Из формулы (49.41) мы видим, что У—д dx представляет собой объем четырехмерного элемента в естественных мерах. Этот естественный или инвариантный объем есть физическое понятие— результат физических измерений, произведенных с помощью приборов, которые не зависят от координатной системы; ему можно противопоставить геометрический объем dV или dx,

*) Действительно, если перейти от координат (Xv ..., X4) к координатам (ж/, ..х/), то dx = dx1dxsdx3dxi преобразуется в

но ие в выражение

д(хі........
49. Тензорная плотность

203

выражающий число единичных клеток, находящихся в данной области.

Если T есть скаляр, т. е. инвариантная функция координат, то ТУ—gdV инвариантно, следовательно и интеграл

f TV~gdx,

взятый по любой определенной абсолютно четырехмерной области, также инвариантен. Каждая единичная клетка (стороны которой dxly ??ат2, dxs, dx± равны единице) привносит к этому инварианту долю T У—д. На этом основании мы называем T У—д скалярной*) или инвариантной плотностью (точнее плотностью инвартшта).

Аналогичный результат получается в случае тензоров. Интеграл

J y~gdz,

взятый по абсолютно определенной области, не есть тензор; действительно, ХОТЯ OH представляет собой еумму тензоров, ЭТИ тензоры относятся не к одной и той же точке, и поэтому не могут складываться друг с другом (п. 33). Однако, в пределе, когда область становится бесконечно малой, закон преобразования интеграла приближается все больше и больше к закону преобразования простого тензора. Поэтому величина T9* У— д есть тензорная плотность (точнее плотность тензора), представляющая собой количество выражаемой этим тензором величины, приходящееся на единичную клетку бесконечно малой области вблизи рассматриваемой точкн.

Тензорная плотность, соответствующая какому-либо теизору, будет обозначаться соответствующей жирной буквой; например

Т = тУ~д. (49-)

Согласно (48.1):

Е.Рт* = E.w = Е у— ш

*) Обычно я избегал излишнего слова „скаляр", менее выразительного, чем его синоним „инвариант". Однако, здесь это слово рекомендуется применять для того, чтобы лучше избежать смешения двух величин — плотности некоторого инварианта и ПЛОТНОСТИ, которая сама является инвариантом-Последняя, именно P0l до сих пор называлась инвариантной плотностью, и ее нужно отличать от введенной здесь ПЛОТНОСТИ T У—а, или плотности инварианта.
204

Релятивистская механика

и так как E У—д есть инвариант, то отсюда следует, что eapTg представляет собой тензорную плотность.

Совокупность физических величин можно разделить на две главные категории, которые можно характеризовать как интенсивности и количества. Так например:

поле ускорения = интенсивности определенного соотношения в некоторой точке;

количество движения = количеству чего-либо в некотором объеме.

Величины второго рода, естественно, выражаются словами „столько-то на единичную клетку". Поэтому интенсивность естественно представляется в виде тензора, а количество в виде тензорной плотности. Мы увидим дальше, что У—д постоянно будет входить в наїЬи формулы; это указывает на то, что физические величины, с которыми мы имеем дело, являются скорее тензорными плотностями, чем тензорами. В общей теории тензорные плотности по меньшей мере столь же важны, как и тензоры.

Мы можем говорить о количестве движения в большом объеме только в том случае, когда установлена определенная система координат. Полное количество движения равно сумме количеств движения в различных элементах объема. При преобразовании координат коэффициенты преобразования различны для каждого элемента. Единственный случай, когда мы можем установить количество некоторой величины в большой области независимо ох координатной системы, — это случай инварианта; так, например, величина „действия" в конечной области не зависит от координат. Короче говоря, тензорный анализ (исключая вырожденный случай инвариантов) изучает вещи, локализованные в определенной точке, а не распределенные в большой области; поэтому нам обычно приходится применять плотности вместо количеств.
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed