Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Позднее выяснится, что E ие есть инвариант и, следовательно, Є о, э т S не есть тензор.
Величины Єярт8 особенно полезны, когда мы имеем дело с детерминантами.
Если |А^| означает детерминант, образованный из элементов ккоторые могут и не представлять собою тензора, то
4! [ I = куцj v4§.2)
так как мы ведь получаем отдельные члены детерминанта, выбирая четыре элемента по одному из каждой строки (так что a,
Tf, 8 все отличны друг от друга) и из каждого столбца (так что в, С, т), 6 все отличны друг от друга) и приписывая произведению Знак -J- или —, смотря по тому, можно ли порядок номеров столбцов перевести в порядок номеров строк посредством четного или нечетного числа транспозиций. Множитель 4 ! необходим по той причине, что при суммировании справа появляется отдельно каждая возможная перестановка тех же самых четырех элементов.
С помощью соответствующих формул можно определить и изучить такіїм же образом детерминанты третьего порядка (из 64 элементов расположенных и кубе) или детерминанты четвертого порядка.
Заметим еще, что
Sop1S • SegrS = 4! (48.31)
Чаще всего нам придется иметь дело с фундаментальным детер-миналтом д и с функциональным детернивантом преобразования Jr, который, как известно, можно символически представить в вцде
j___ d (X1 , Xs , х3 , Xi )
_ д(х1г жа, х3, х4)
48. Антисимметричный тензор четвертого ранга На основании (48.2) можно написать
4! д =s -j. s s^e 9 a ^ytj ^о0
дх' дх/ дх/ дх,'
199
4! J =
(48.32)
(48.33)
дха дхр дхг дхг,
Чтобы иллюстрировать применение наших символов, докажем, что *)
g = JV-
Из (48.32) и (48.33) следует
(4 YfJ^g = s C^8S ^7j9 g atg #їТ^39Х
дх/ дх/ дх/ дх'А дхх
X S IxX ^ ^vi; (J и)
Xs
рати y^u)
дх/ дхх dxi dxv.
дх/ дх/ дхф' ' дхГі
X
(48.41)
Up дхх дх- dx .J Правая сторона этого равенства представляет собой выражение, состоящее примерно из 280 биллионов членов, и мы подвергнем сейчас некоторой перестановке те из них, которые отличны от нуля.
В этих отличных от нуля членах буквы v, Л, о, й означают те же самые значки, что и a, j3, 7, 8, только расположенные (вообще говоря) в другом порядке. Переставим четыре множителя, имеющие эти значки так, чтобы они оказались расположенными в том же порядке; при этом значки в знаменателях расположатся в каком-то другом порядке, и мы обозначим их через *, к, /, т. Таким образом мы получим:
дх/ дх{ дх/ дх'й _______Qx/ Qx^r дх/
дх, дху_ дх} дх,,. дх{ дхк дх} дхт Так как число транспозиций в знаменателях н числителях одинаково, то
. я ®txXa
(48.42)
: 1
iklt
(48.43)
так что результат перестановки имеет вид:
дх/ дх\' дх/ дх'& 6a^sSlxX Ix..
---- SvSj0
х дху. дх/ дх/ дх-' дх/ dxf дхк dxt dxm
(48.5)
’) Более короткое доказательство будет дано в конце этого иараїраф;
2OO Релятивистская механика
После аналогичной перестановки последних четырех множи» телей мы получаем вместо (48.41):
/MhS Г2 ' дх* dxV dxS дх,‘ dx'e' дч' дх'- дхь'
¦. •) 9 9 а Е 9^ 9^se дх( дхк Oxl дхт ’ дхг дхч dxt дхи
X гМт ‘ s,'5oib ‘ sv5od> - Srstu ‘ Є cPXФш ' е=РУ.фш •
Ho согласно (23.22)
, дх/ дх/ __
^cts дх. дхг ^ir ’
следовательно
(4 03J^g' = (4 !)2 Sislie 8„(в ^rlr .9As = (4 !)8 <?,
что и доказывает наше утверждение.
Возвратимся теперь к Е“Рт°; закон преобразования этого выражения гласит
„ » дх' дх.,' дх/ дх/
JffiLiax__ PctPTs--J- _________________
дха дх(і Ox^ дхт,
Если помножить это на Slivtix н иринять в расчет (48.1), то получим:
v, v дх./ дх/ дх/ дх/
A -Sp5tSp5t-^ дх^ ,
так что согласно (48.31) и (48.33)
Er = JE. (48.6)
Следовательно, E не инвариантно относительно преобразования координат.
Далее ясно, что
pdPlS р.еСт)9
^cts Sp с ^ae
представляет собой инвариант. Ho это выражение равно:
socp-fS ?є!;т|вEсS1IT1 ^se = 4 • E-д.
Следовательно
E2<7 есть инвариант. (48.65)
Соответственно этому, в силу (48.6)
EPg = EfW = (EJ)Y, что и дает второе доказательство соотношения
9 = JW-
Следствие, Если а есть детерминант, образованный нз компо-
9. Элемент объема
¦лої
нент аг, какого-либо ковариантного тензора, инвариант и имеет место соотношение
a = JH'.
то Е2а есть
(48.8)
*9. ЭЛЕМЕНТ ОБЪЕМА. ТЕНЗОРНАЯ ПЛОТНОСТЬ. ТЕНЗОРНЫЙ ОБЪЕМ.
Мы нашли в п. 32, что элемент площади, соответствующий параллелограмму, образованному двумя перемещениями S1X,*, S2O^, представляет собой антисимметричный тензор
Xu.
dS
V-'1 :
S1X7
Таким же точно образом мы определим (четырехмерный) элемент объема, соответствующий четырехмерному параллелепипеду, образованному четырьмя смещениями O1Xli, S2Xij,, S3Xlt, S4Xlt, как тензор
S1X1J1 S1Xv S1Xtj S1Xt J2X, Ь^Ху SqX^ - 2
(49.1)
O4X, S4Tt
Мы видим, что этот детерминант представляет собой антисимметричный тензор четвертого ранга и, следовательно, его 256 составляющих могут иметь только одно из трех значений
-f dV, 0, — dV,
где dV = ±dVl 234. Из (48.65) следует, что (dV)2g есть инвариант, следовательно
