Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Для этой цели окружим рассматриваемую точку P маленькой сферой. Пусть — 8^ч -j- -j- h'^, где величина 8 пред-
ставляет собой галилеевы значения, а величины h и h' —
7 JlV [Л V
силовые поля, обусловленные независимо материей, находящейся внутри и вне сферы. Согласно п. 36, можно всегда выбрать такие координаты, чтобы в точке P величины h' и их первые производные обращались в нуль. Кроме того, благодаря сферической симметрии первые производные от h также будут равны нулю **), а сама величина Aiv для бесконечно малой сферы стремится к нулю. Таким образом, все смешанные члены взаимодействия ***), имею, щие вид
d'2h дії' дії дУі
k' . и--' ___«.____и й . Iiv
1Т дх. ¦ дх ’ дх дх 17 дх, дх ’
Ap Л р к р
*) Смысл этого пренебрежения можно математически сформулировать> пожалуй, следующим образом: мы должны считать произведение массы каждой частицы т на общее число частиц, т. е. «общую массу», бесконечно малой величиной первого порядка, следовательно нам необходимо иметь «бесконечно разреженное распределение материи». Другими словами, мы определяем два первых члена в разложении ds2 по степеням «общей массы». Ср. к понятию «общей массы» ближайшее примечание автора. (И.)
**) Именно потому, ЧТО В виду сферической симметрии Ajiv их производные в нуле по двум взаимно противоположным направлениям должны бьргь равны друг другу, но иметь разные знаки. (й)
***) При этом подразумеваются нелинейные члены в выражении G pp. формулу (34.5)]. (//.)
46. Переход к непрерывной материи
191
в точке P будут равны нулю. Если ввести указанные ограничения, то смешанных членов взаимодействия не будет вовсе и сумма обоих решений h и h'^ будет также решением точных уравнении. Итак, выражения (46.5) останутся верными. Мы видим, что сделанные ограничения заключаются очевидно в том, что координаты в точке P должны быть «естественными координатами». Мы уже приняли это во внимание, взяв за собственную плотность величину р.
Мы предположили, что материя в точке P не ускоряется по отношению к этим естественным осям в P (первоначальные частицы должны все в]„емя находиться в покое, так как иначе решение (46 • 15) неприменимо). Если бы материя ускорялась, то необходимо должно было бы существовать напряжение, вызывающее это ускорение. Позже нами будет найдено, что при наличии этого напряжения в G^ появляются добавочные члены. Формула (46 • 5), строго говоря, приложима только в том случае, если никаких напряжений нет, и непрерывная среда характеризуется только одной переменной, а именно, плотностью.
Читатель вероятно все еще ощущает некоторое сомнение в Законности ЭТИХ доводов, в силу которых было сочтено возможным пренебречь величиной ш2 *). Для того чтобы он не придавал этим моментам слишком большого значения, мы сразу же отметим, что последующее изложение не будет основываться на этих рассуждениях. В следующей главе мы получим такие же формулы при помощи совершенно другого метода и перейдем тогда в обратном направлении от законов непрерывной материи к частному случаю изолированной частицы.
*) Чтобы осветить эту трудность, попытаемся выясвить, чїо представляет собой величина р0 в действительности, если принять, что она ие определяется уравнениями (46-6) и (46-7)? Если поля отдельных частиц не взаимодействуют друг с другом, то р0 равно 2то в единице объема, но если мы примем во внимание это взаимодействие, то значение величины т, являющейся Оостоянной интегрирования уравнения, которое нельзя применять, остается неопределенным. Говоря математически, мы не можем сказать, во что превратилась бы величина т, если все остальные частицы были бы удалены; эта постановка вопроса не имеет смысла. Физически, без сомнения, можно было бы сказать, чему равняются массы атомов, если они отстоят значительно друг от друга, а также сравнить их с гравитационными действиями атомов при реальных условиях; но для этого пришлось бы прибег, нуть к законам строения атома, что лежит совершенно вне данной книги.
Закон тяготения
Уравнение (46 • 2) является очень удобным выражением для поля тяготения, обязанного своим происхождением статистическому распределению материи. Оно верно только в первом при-
~ , т
илижении с точностью до величины порядка но второгопри-
ближения и не существует, если исключить из рассмотрения случаи единственной частицы. Действительно, если в пространстве находится не одна, а несколько частиц, то они непременно будут испытывать ускорения, поэтому мы не сможем найти точного решения уравнений Эйнштейна, которое соответствовало бы некоторому числу частиц, все время находящихся в покое. Отсюда следует, что всякая связь, удерживающая частицы в покое, сама должна обладать свойством вызывать гравитационное лоле.
В заключение приведем здесь значения выражения G— соответствующие симметричной формуле (38.2) для интервала. Подбирая соответствующие (X) и (v), можно получить любое распределение непрерывной материи со сферической симметрией.
Итак, мы имеем:
—/I I / — /' I — t
2 1 2
Г
і
в,, і X',' + і./* +
