Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
-1
<&2 = —
(Ir- — r2db'2 — г2 sin2 6 dy 2 -j-
(45.6)
4С. Переход к непрерывной материи
187
элементарным решением которого будет 2 = ~. Отсюда при
помощи хорошо известных рассуждений мы легко можем вывести для непрерывной материи уравнение
Д2= —4тср. (46.1)
Этот же принцип можно применить и к эйнштейновским потенциалам д , которые в пустом пространстве удовлетворяют уравнениям Grfi =0. Элементарное решение было уже нами найдено, и остается определить лишь видоизменение этих уравнений в случае непрерывной материн. Мы не будем здесь рассматривать логические соображения, на основании которых возможен переход от дискретных частиц к непрерывной материи, так как они совершенно одинаковы для обеих теорий.
(til \
-1, то изотропное решение (43.3) для частицы, все время находящейся в покое, принимает вид*):
*2 = I(46.15)
Частица может находиться и не в начале координат при том условии, если г означает расстояние от данной частицы до рассматриваемой точки.
Суммируя силовые поля некоторого числа частиц, получим
= _(i-f_ 22) (dx2 -j- dy* -f d*2) + (I — 22) dfi, (46.2)
SDX
—, т. е. ньютоновский потенциал в рассматриваемой
точке.
Неточность, получаемая вследствие пренебрежения взаимодействием силовых полей отдельных частиц, имеет такой же порядок величины, как и ошибка, совершаемая при отбрасывании
OT2
члена —5-, если чздло частиц не слишком велико.
Г*
*) Необходимо заметить, что это приближение, вполне допустимое для излагаемой теперь задачи, становится совершенно неприемлемом при рассмотрении вопроса о перигелии Меркурия. В этом случае нужно было бы
также сохранить член с в коэффициенте при
JSS Закон тяготения
Вычислим теперь G^i из выражения (46.2). На основании (46.2) имеем:
= 9* 'bW =
1 *1 ^ д'2°*'
______OsP ___-I_________i??-----Iiif-------Щ- . (46.3)
2 Icte дх дх дх дх дх дх дх '
\ ра P4j H- а
Нелинейные члены в производных от g мы не выписываем, так как в них входит член S2, имеющий порядок величины > которой мы уже условились пренебрегать.
При суммировании останутся только те члеиы, в которых компоненты фундаментального тензора g имеют одинаковые значки.
Рассмотрим последние три члена, заключенные в скобки; для Gn
оии дадут
JL / 0І1 4- «22 . ! S3 . I
2 \ дх*-9 дх?^9 дх*^
М4. &9и _ ,п _ „ &9и\ .
^r9 дхj2 дхЛ 9 дхj2/
Подставляя значения д*' из (46.2), получим (пренебрегая Q2) нуль, тоже для G22 и G33. Для Gu результат равен нулю по другой причине, а именно потому, что Q не содержит Xi (= t). Таким образом
'1 64 1
1 P
так же, как и в выражении (30.65).
Так как время сюда не входит, то [см. (46.2)}:
. D=-V2=-A,
1
Gni ^22? Gaa, Gu = g- у2 (дп, <722> 9ss> &іі) — V2 ^ = A
Итак, производя в этой точке переход к непрерывной материи, найдем, применяя (46.1)
G11 j &22) ^38> Gu= 4тср. (46.5)
Точно также
G = !f‘- G, =-G11- G22 - C88-I- G44 = Sirp в том же приближении.
Ш. Переход к непрерывной маїерші
Рассмотрим теперь тензор, определяемый равенством
(46.6)
Легко можно найти, что
T = 0, за исключением T144 — р, а также, подымая значки,
(46.7;
О, кроме Tii — р,
так как выражения дг* являются галилеевыми до требуемой степени приближения относительно р и 2.
Рассмотрим затем выражение
где величина описывает движение материи, а р0 есть соб-
UiS
ственная плотность (инвариант).
По отношению к применявшимся до сих пор координатам материя находится в покое, следовательно
таким образом, все компоненты написанного выше выражения равны нулю, за исключением компоненты при |х = v — 4, которая равна р0. Соответственно, в этих координатах
так как плотность р (46.7) очевидно является собственной плотностью.
Ho (46.8) есть тензорное уравнение*) и, будучи справедливым для одной системы координат, оно будет оставаться верным во всякой системе. При помощи (46.6) и (46.8) закон тяготения Эйнштейна можно распространить на область, содержащую непрерывную материю с собственной плотностью P0 и
ах
(Ixl dx2 dxa ^ (Ixl ^ ds ds ds ’ ds
dx dx
ds ’
(46.8)
dx
движущуюся со скоростью .
*) Каждый раз, когда утверждается, что данное уравнение является тензорным, читателю предоставляется проверить равенство ковариапгных размерностей обеих частей.
І90
Закон тяготения
Теперь остается решить вопрос, вызывает ли пренебрежение величиной »н2 какую-нибудь неточность в этих уравнениях*)? Переходя к непрерывной материи, мы беспредельно уменьшаем т для каждой частицы, но увеличиваем число частиц в данном объеме. Чтобы избежать увеличения числа частиц, можно уменьшать объем; в этом предельном случае формула (46.5) будет справедлива для точки внутри очень малой области непрерывной материи. Изменится ли что-нибудь, если мы будем прибавлять в больших количествах окружающую материю? Таким путем мы не получим новых добавок к тензору G , так как, поскольку дело касается окружающей материи, точка находится в пустом пространстве. Ho уравнения Эйнштейна не линейны, и мы должны поэтому рассмотреть возможные смешанные члены, возникающие в результате взаимодействия.
