Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Возможность замены г какой-нибудь функцией от г, без нарушения сферической симметрии, очевидна из того факта, что координаты представляют собой только лишь отождествляющие числа, но аналитически эта возможность связана с наличием тождественного соотношения между G11, G92 и Gu, вследствие чего число уравнений оказывается недостаточным для определения однозначного решения.
*) Некоторым контролем ЭТИХ формул является также ТО, ЧТО при ^i=O они переходят в (38.6).
(Я.)
43. Изотропные координаты
175
Это приводит нас к теореме, имеющей большое значение
в последующем изложении. Если бы все десять уравнений Э®н~ штейна G =0 являлись независимыми, то десять величин а
JtV ' J [J.V
определялись бы при их помощи однозначно (при определенных граничных условиях). Выражение для ds2 было бы вполне однозначно и никакое преобразование координат не было бы возможным. Ho так как мы знаем, что координаты можно преобразовывать по нашему произволу, то между десятью компонентами
<7 и V должны существовать тождественные соотношения, как мы н увидим в п. 52.
Некоторый интерес представляет собою другое преобразова-яие формулы (38.8), имеющее вид
t = J1 -\-2т Ig (г—-2 от); (43.61)
при его помощи вводится новое «время» t и вместе с тем не-
много отличное определение одновременности. Тогда уравнение
(38.8) принимает следующий вид:
Pm
ds2 = ( — dr1 — г2 d02 — г2 sin2 6 dv2 -)- dt*)-(dtt — dr)2. (43.62)
Полагая в (43.62) ^s2 = O, получим, что в этих координатах радиальная скорость, направленная от солнца, равна 1. Таким образом, это определение времени получается в том случае, если, в предположении постоянства скорости света все часы устанавливаются при помощи световых сигналов, посылаемых солнцем. Правда, при таком исчислении времени радиальные скорости света в двух противоположных направлениях—к солнцу и от солнца — уже не совпадают друг с другом.
Каждому элементу (dr, db, dv, dtv) соответствует элемент мировой линии притягивающей частицы, обладающий тем свойством, что эфиРные волны, исходящие из крайних точек последнего Элемента, одновременно достигают обеих крайних точек первого дннейного элемента. Легко убедиться, что сопоставленный таким образом линейный элемент имеет компоненты (0, 0, 0, dtx—dr). Следовательно, мы можем переписать равенство (43 • 62) в следующем виде:
ds^ = d^ — 2Qdo'% (43.63)
где через и d~i' обозначены эвклидовы длины обоих элементов, а через Q потенциал источника т на da (взятый так же, как в эвклидовом пространстве).
Закон тяготения
Уайтхэд *) в своей теории гравитации считает в противоположность эйнштейновской теории, что именно выражение (43.63) описывает действие тяготения. Он рассматривает пространство как эвклидово, отвергая нашу метрическую интерпретацию ds*. He считая возможным присоединиться к взглядам Уайтхэда, мы все же отметим здесь тот интересный факт, что его необыкновенно простая формула для интервала (в поле, возмущенном тяготеющим телом) находится в полном согласии с эйнштейновской теорией.
U. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ. ДВИЖЕНИЕ ЛУНЫ.
Поле, описываемое при помощи тензора д , может быть (искус ственно) разделено на чисто-инерциальное поле, представленное галилеевыми координатами, и силовое поле, заданное отклонениями компонент д от галилеевых значений. Произвести наложение (суперпозицию) друг на друга силовых полей двух притягивающихся частиц невозможно, так как сумма обоих решений не будет решением уравнений G = 0, вследствие нелинейности последних относительно д .
Для поля двух особых точек или частиц до сих пор еще не найдено нйкакого решения уравнений Эйнштейна. Простейшим случаем являются две одинаковые частицы, вращающиеся по круговым орбитам вокруг общего центра тяжести. Казалось бы, для двух одинаковых особых точек должно существовать статическое решение; но условия на бесконечности будут отличаться от условий для одной частицы, так как оси, соответствующие статическому решению, образуют так называемую вращающуюся систему. Решение еще не найдено и возможно даже, что такое статическое решение вообще не существует. Мы не думаем, чтобы до сих пор было доказано, что два тела могут вращаться, не излучая Энергии гравитационными волнами. При обсуждении этой задачи излучения обычно существует тенденция считать вопрос уже решенным; однако недостаточно заставить частицы равномерно вращаться, вычислить затем возникшие гравитационные волны и проверить, действительно ли излучение гравитационной энергии сквозь сферу бесконечного радиуса равно нулю. Последнее обстоя-
*) А. N. Whitehead. The Principle of Relativity (Cambridge University Press), стр. 81.
4к Задача двух тел. Движение луны
тельство покажет только, что статическое решение не противоречиво непосредственно, хотя самая возможность его существования и не будет доказана.
Проблема двух тел в теории Эйнштейна остается, таким образом, вызовом математикам, подобно задаче трех тел в теории Ньютона.
Для практических целей достаточен метод последовательных приближений. Мы рассмотрим задачу, состоящую в определении поля, создаваемого совместным притяжением земли и солыда, и применим ее для определения тех изменений в орбите луны, которые требуются новым законом тяготения.
