Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Е. Freundlich, Natnrwiss. 18, 513. 1930. (Р.)
43. Изотропные координаты
171
Простейшим инвариантом, имеющим различные значения на солнце и на земле, является квадрат длины теизора Риманна — Кристоффеля, а именно
Bt B^.
Є
Эта величина может быть вычислена из формулы (38.8) методом, применяемым в этой главе для вычисления тензора G Результат будет равен
48- 4$.
Из соображений размерности вытекает, что соответствующее изменение ds должно быть порядка
где о— раднус атома. Повидимому никакая другая длина входить в рассмотрение не может. Сравнение солнечных и земных атомов показывает, то эта величина примерно равна Ю-100. Во всяком случае, представляется невозможным построить при помощи инвариантов пространства-времени выражение, которое скомпенсировало бы предсказывемое смещение спектральных линий т
пропорциональное —.
43. ИЗОТРОПНЫЕ КООРДИНАТЫ.
Выражение для интервала (38.8) можно преобразовать при помощи подстановки
г==(4 +5^» (43Л>
откуда
I1 irfi \
172 Закон тяготения
Следовательно, (38.8) принимает вид
*2 =
\ ' ^rI / ' ‘ ' ‘
т\2
-j- — (с/гха—j—rx2 ^62 -j- T12 sin2 0 а!®2) -j-
1 9
~Н-------(«.2)
1+5ч
Координаты (гп 0, <в) называются изотропными полярными координатами. Соответствующие изотропные прямоугольные координаты найдем, положив
X = V1 sin 0 COS CS, у = Tj sin 0 sin cp, z = rt COS 0, откуда получим
dgi= —(l +^Tj (^2 + %2 + ^2) + ~і~" ' 2^1v,^2. (43.3)
‘ 2гг лрн
rx = Vr а;» + у2 -f а-^.
Эта система координат имеет ряд преимуществ. Например, для того, чтобы получить траекторию движения светового импульса, положим ds = О в формуле (43.3). Это даст:
/і- л у
IdxY і IdAti і (а* V _ \ 2rI/
V ¦
На расстоянии T1 от начала координат скорость света согласно Этой формуле в любом направлении равна
т
1----—
(43.4)
1 -4--—
^ 2 T1
При первоначально применявшихся координатах в (38.8) скорость света была различной для радиального и поперечного направлений.
Кроме того, в изотропной системе координат элемент длины У dx2 -[- dy2 -j- afe2 небольшого Твердого стержня не измен* > гея при
?3. Изотропные координаты
173
изменении его ориентации. Эта система координат естественно вводится при измерении пространства твердыми масштабами или световой триангуляцией в малой области, например, при измерениях, производимых на земле. Так как, в конце концов, все измерения, содержащиеся в каком-нибудь наблюдении, выполняются в земных лабораториях, то, строго говоря, всегда нужно применять изотропную систему, которая соответствует допущениям, сделанным при этих именно измерениях *). Ho на земле величиной —
можно пренебречь, так что обе системы становятся эквивалентными друг другу и эвклидовым координатам. Неэвклидова геометрия нужна только для теоретической части исследования законов движения планет и распространения света в тех областях, где
т
отношением — пренебречь нельзя. Как только световые волны
попадают в земную лабораторию, необходимость в применении неэвклидовой геометрии отпадает, и разница между изотропными и неизотропными координатами практически исчезает.
Как в той, так и в другой системе координат скорость света вдоль какой-нибудь линии в одном направлении равна его скорости в обратном направлении. Следовательно, координата t подчиняется требованию п. 11, заключающемуся в том, что одновременность каких-нибудь событий может быть определена прп помощи световых сигналов. Если из точки А, в которой находятся часы, мы посылаем в момент времени tA световой сигнал, который, достигая точки В, немедленно отражается и возвращается в .4 в момент времени t'A, то время прибытия в точку В
I
б}гдет равно -Jj- (tA -j- tA') точно так же, как и в специальной теории
относительности. Ho другое требование, заключающееся в возможности определения одновременности бесконечно медленного перенесения часов, оказывается невыполнимым в гравитационном поле. Эт0 следует из п. 42, так как ход часов будет зависеть от их положения в поле тяготения. Во всяком случае, медленное перемещение’ часов будет тогда неосуществимо вследствие ускорения, которое должны испытывать все тела.
*) Однако земная лаборатория свободно падает по направлению к солвду и поэтому ускоряется по отношению к координатам (х, у, z, t).
Закон тяготения
Изотропная система могла быть найдена непосредственно при отыскании частных решений уравнений Эйнште®на? имеющих вид (38.12), т. е.
ds- = — е' dr- -
'¦(гhi 62 -J- г2 sin2 0 d'f) 4- е • dt*,
где X, [а, V суть функции от г. Применяя метод п. 38, имеем:
Gil = ^+-2 Vе 2 11 1
-1---и/
ir' г
1 1
-у XV 4- ~ v'2 4 ‘ 4
/У и.
G40 - е
1
I + 2r U' + т г (/ - X') -L _ г2 ^ +
G33 = G22 sin2 8
(43.5)
Остальные компоненты равны ,нулю *).
Благодаря тождественному соотношению между составляющими G11, G22 и G44, равенство нулю этого тензора дает только два уравнения для определения трех неизвестных X, [а, v.
Поэтому существуют бесконечное число частных решений] отличающихся друг от друга выбором третьего уравнения между X, <j., V, которое мы можем ввести по произволу. Два рассмотренных до сих пор решения получены при JJ- = O и к —-j.. Ta же совокупность решений может быть получена более простым путем, а именно подстановкой в равенство (38.8) произвольных функций от г вместо самого г.