Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эддингтон А.С. -> "Теория относительности" -> 58

Теория относительности - Эддингтон А.С.

Эддингтон А.С. Теория относительности — М.: ОНТИ, 1934. — 508 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaotnositelnosti1934.djvu
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 176 >> Следующая


Е. Freundlich, Natnrwiss. 18, 513. 1930. (Р.)
43. Изотропные координаты

171

Простейшим инвариантом, имеющим различные значения на солнце и на земле, является квадрат длины теизора Риманна — Кристоффеля, а именно

Bt B^.

Є

Эта величина может быть вычислена из формулы (38.8) методом, применяемым в этой главе для вычисления тензора G Результат будет равен

48- 4$.

Из соображений размерности вытекает, что соответствующее изменение ds должно быть порядка

где о— раднус атома. Повидимому никакая другая длина входить в рассмотрение не может. Сравнение солнечных и земных атомов показывает, то эта величина примерно равна Ю-100. Во всяком случае, представляется невозможным построить при помощи инвариантов пространства-времени выражение, которое скомпенсировало бы предсказывемое смещение спектральных линий т

пропорциональное —.

43. ИЗОТРОПНЫЕ КООРДИНАТЫ.

Выражение для интервала (38.8) можно преобразовать при помощи подстановки

г==(4 +5^» (43Л>

откуда

I1 irfi \
172 Закон тяготения

Следовательно, (38.8) принимает вид

*2 =

\ ' ^rI / ' ‘ ' ‘

т\2

-j- — (с/гха—j—rx2 ^62 -j- T12 sin2 0 а!®2) -j-

1 9

~Н-------(«.2)

1+5ч

Координаты (гп 0, <в) называются изотропными полярными координатами. Соответствующие изотропные прямоугольные координаты найдем, положив

X = V1 sin 0 COS CS, у = Tj sin 0 sin cp, z = rt COS 0, откуда получим

dgi= —(l +^Tj (^2 + %2 + ^2) + ~і~" ' 2^1v,^2. (43.3)

‘ 2гг лрн

rx = Vr а;» + у2 -f а-^.

Эта система координат имеет ряд преимуществ. Например, для того, чтобы получить траекторию движения светового импульса, положим ds = О в формуле (43.3). Это даст:

/і- л у

IdxY і IdAti і (а* V _ \ 2rI/

V ¦

На расстоянии T1 от начала координат скорость света согласно Этой формуле в любом направлении равна

т

1----—

(43.4)

1 -4--—

^ 2 T1

При первоначально применявшихся координатах в (38.8) скорость света была различной для радиального и поперечного направлений.

Кроме того, в изотропной системе координат элемент длины У dx2 -[- dy2 -j- afe2 небольшого Твердого стержня не измен* > гея при
?3. Изотропные координаты

173

изменении его ориентации. Эта система координат естественно вводится при измерении пространства твердыми масштабами или световой триангуляцией в малой области, например, при измерениях, производимых на земле. Так как, в конце концов, все измерения, содержащиеся в каком-нибудь наблюдении, выполняются в земных лабораториях, то, строго говоря, всегда нужно применять изотропную систему, которая соответствует допущениям, сделанным при этих именно измерениях *). Ho на земле величиной —

можно пренебречь, так что обе системы становятся эквивалентными друг другу и эвклидовым координатам. Неэвклидова геометрия нужна только для теоретической части исследования законов движения планет и распространения света в тех областях, где

т

отношением — пренебречь нельзя. Как только световые волны

попадают в земную лабораторию, необходимость в применении неэвклидовой геометрии отпадает, и разница между изотропными и неизотропными координатами практически исчезает.

Как в той, так и в другой системе координат скорость света вдоль какой-нибудь линии в одном направлении равна его скорости в обратном направлении. Следовательно, координата t подчиняется требованию п. 11, заключающемуся в том, что одновременность каких-нибудь событий может быть определена прп помощи световых сигналов. Если из точки А, в которой находятся часы, мы посылаем в момент времени tA световой сигнал, который, достигая точки В, немедленно отражается и возвращается в .4 в момент времени t'A, то время прибытия в точку В

I

б}гдет равно -Jj- (tA -j- tA') точно так же, как и в специальной теории

относительности. Ho другое требование, заключающееся в возможности определения одновременности бесконечно медленного перенесения часов, оказывается невыполнимым в гравитационном поле. Эт0 следует из п. 42, так как ход часов будет зависеть от их положения в поле тяготения. Во всяком случае, медленное перемещение’ часов будет тогда неосуществимо вследствие ускорения, которое должны испытывать все тела.

*) Однако земная лаборатория свободно падает по направлению к солвду и поэтому ускоряется по отношению к координатам (х, у, z, t).
Закон тяготения

Изотропная система могла быть найдена непосредственно при отыскании частных решений уравнений Эйнште®на? имеющих вид (38.12), т. е.

ds- = — е' dr- -

'¦(гhi 62 -J- г2 sin2 0 d'f) 4- е • dt*,

где X, [а, V суть функции от г. Применяя метод п. 38, имеем:

Gil = ^+-2 Vе 2 11 1

-1---и/

ir' г

1 1

-у XV 4- ~ v'2 4 ‘ 4

/У и.

G40 - е

1

I + 2r U' + т г (/ - X') -L _ г2 ^ +

G33 = G22 sin2 8

(43.5)

Остальные компоненты равны ,нулю *).

Благодаря тождественному соотношению между составляющими G11, G22 и G44, равенство нулю этого тензора дает только два уравнения для определения трех неизвестных X, [а, v.

Поэтому существуют бесконечное число частных решений] отличающихся друг от друга выбором третьего уравнения между X, <j., V, которое мы можем ввести по произволу. Два рассмотренных до сих пор решения получены при JJ- = O и к —-j.. Ta же совокупность решений может быть получена более простым путем, а именно подстановкой в равенство (38.8) произвольных функций от г вместо самого г.
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed