Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Будем исходить из уравнений (39.61):
^ и 4- w — -J- Зоти2. (40.1)
Если пренебречь очень малым членом Ътито решение, как и в динамике Ньютона, будет гласить
ш
« = •^[1+e.cos(<p — тг)]. (40.2)
Постоянные интегрирования е и тг представляют собой эксцентриситет и долготу перигелия *).
*) Разъясним вкратце применяемые в тексте обозначения. Если две
главные оси эллиптической орбиты равны 2а и 2b (а Ь), то эксцентриситет, е
представляет собою отношение расстояния между фокусами 2 У Ф — № к большей оси 2а (в учебниках аналитической геометрии эта величина часто называется численным эксцентриситетом)', перигелием называется ближайшая к притягивающей точке вершина эллипса (для луны эта точка называется перигеем); <о есть угол между радиусом-вектором, соединяющим фокус с перигелием, и каким-нибудь закрепленным начальным направлением, лежащим в плоскости орбиты; для плаиет таким закрепленным направлением служит один из радиус-векторов, направленных к узлам-точкам пересечения планетных орбит с плоскостью эклиптики, т. е. с плоскостью земной орбиты.
Различают узлы восходящий и нисходящий, соответственно направлению движения планеты, пересекающей эклиптику в восходящем узле при переходе в северное полушарие.
Положение самого узла определяется его долготой, т. е. угловым расстоянием от точки весеннего равноденствия (точки пересечения эклиптики с земным экватором), считаемым в плоскости эклиптики.' Долгота восходящего узла обозначается через Sl,'> через і обозначается наклон орбиты планеты, т. е. угол между ее плоскостью и плоскостью эклиптики. Наконец, 2*2
параметр 2/ = = 2я (1 — е2) равен длине хорды эллипса, проведенной
перпендикулярно к большей полуоси через один из фокусов. Величина I определяется через постоянную площадей h при помощи уравнения, легко получаемого из (40.2):
H1 = ті — та (1 — е2).
Наконец, и = 5 = (ft, —)- <о есть долгота перигелия. (Р.)
40. Движение перигелия jei
Подставим подученное нами первое приближение для и в малый член Ihnu-, тогда (40.1) принимает вид
(Pu т , №3 . „ OT3 . .
+u г3 P + 6 +
+ TFeS[1+cos2(?_i:)]- (40-3)
Из добавочных членов единственным, могущим произвести эффект, доступный наблюдению, является член, содержащий cos (9— тс); этот член имеет как раз период такой величины,
что может при резонансе служить причиной для постоянно уве-
личивающегося эффекта.
Так как частный интеграл уравнения d-u
—— 4-в = A cos 9
а 9^ 1
равен
1 j •
U=-^-Ao sm 9,
то к интегралу и, выражаемому формулой (40.2), нужно прибавить добавочный член
U1 = 3— е9 sin (9 — тс). (40.4)
Таким образом, во втором приближении
т h*
т
и = — l-)-ecos(9 — тс) -j- 3 — е о sin (9 — тс)
где
: ~ [I -f е • COS (9 — TC — StC)],
8тс = 3^9, (40.5)
причем величиной (8тс)2 пренебрегаем.
В то время как планета сделает один полный оборот по орбите, перигелий тс переместится иа некоторую долю всей орбиты, равную
отс 3TTiti Зт
7 = ж = «ТГ=^)’ {тл)
что следует из общеизвестного закона площадей
— ml = та (1 — е2).
Теория относительности. 11
162
Закон тяготения
Применяя третий закон Кеплера (T — время обращения)
f2 TT\2
T
получим для перемещения перигелия формулу другого вида
от: 12 тт'2 tt2
CO сП'*(1— е2) ’
(40.7)
где T — период, а с — опять восстановленная скорость света.
Это перемещение перигелия может быть замечено для планеты Меркурия, причем вычисленные данные совпадают с результатами наблюдений.
- як (!r
Для круговой орбиты полагаем — и — равными ыудюк
CtS UzSmj
вследствие чего (39.31) принимает следующий вид:
. I ,-X ,/Л\а п ~re [ISj+Te "(г)
откуда
/ d®\3 I vv' _ 1 т' _ т
\dt J 2 6 г 2 г г® ’
следовательно, третий закон Кеплера выполняется е точностиш
Этот результат не имеет никакого значения для наблюдений, так как он является лишь простым следствием принятого нами определения величины г. Можно было бы взять слегка отличные
координатные системы, которые с таким же правом могли претендовать на соответствие полярным координатам в плоском пространстве-времени, но в применении к которым третий закон Кеплера уже не был бы верен.
К результатам только-что указанного типа нужно подходить с большой осторожностью, так как они могли бы представлять интерес например только в том случае, если бы радиус-вектор являлся не условной координатой, а величиной, которую можно непосредственно измерить. Перемещение же перигелия представляет собой явление совершенно другого порядка. Ясно, что число лет, необходимое для того, чтобы орбита, имеющая эксцентриситет, не равный нулю, совершила полный оборот, вернувшись в свое прежнее положение, может быть определено при помощи наблюдений, очевидно независимо от того или иного
40. Движ ение перигелия
условия, введенного при определении точной длины радиуса.вектора.
Следующая таблица дает для четырех внутренних пдаает п0_ правки к движению перигелия за сто лет, предсказываемые теорией Эйнштейна.
Планеты 0~ е OTv
