Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
dp* 1 г dp dp V «Р/ } (В)
^ a d_,dr Q j
dp™ г dp dp 1 dp dp I
?+^-51=0- і
dp- dp dp )
Из сравнения уравнений (В) п (А) сразу же получаем для трехзначковых символов значения (38.5;. (Я.)
Закон тяготения
Остальные компоненты не содержат членов, отличных от пуля*). Сделаем теперь подстановки из (38.5) и (38.32) и сгруппируем члены; окончательно получим следующие уравнения:
G11 = А V" - І. XV -Ь J = Q (38. С і)
G22 = е“^1 ~ г (¦/ — У)j — ! = 0 (38.62)
G33 = sin2 6 . е-х -j- -1 »•(•/ — X')j — siaaO = 0. (38.63)
G44 = е'-х I -1 v" + \ XV - і /а - = 0. (38.64)
G12 = 0. (38.65)
Уравнение (38.63) можно отбросить, так как оно является простым повторением уравнения (38.62); таким образом, остаются три уравнения относительно Xhv. Из уравнений (38.61) и (38.64) имеем X' = — V. Так как X и v одновременно должны обращаться в нуль при г= со, то на основании предыдущего необходимо, чтобы:
Тогда уравнение (38.62) принимает вид:
е' (1 4- г ¦/) = 1.
*) Чтобы установить, какие из G114 при \х^~ч не равны тождественно
нулю, рассмотрим по порядку отдельные члены (37.2). Первый член—{u.v,a>
равен нулю, так как а должно быть равно р. или ч [так как {,av, а} для чфа равно нулю]. В самом деле, один взгляд на формулы (38.5) уже говорит нам, что как раз те из скобок (jiv, а} (*j.-/-ч), которые не исчезают, не зависят от соответствующей переменной ха. Второй член {(ict, (3) {-;S, а) отличен от нуля только в том случае, когда a = [j., $ = ч или а = ч, P = (д.. Ho из формул (38.5) мы сразу видим, что при |j.§v выражения у} (vvJfi) также, как н {pv, p.) {vp., р.) равны нулю. Из формулы(38.32) для значения величины—д также следует, что ири \з.:/ ч третий член
O2 Ig Y - и
dxu 6х^
равен 0. В четвертом члене второй множитель равен нулю, если а не равно 1 или 2. Поэтому, согласно (38.5), при а = 1 не может существовать ни одной пары значков p., v при [лгgv, для которых {[лч, а}-/:0. Ho при a = 2 согласно формуле (38.5) принимаются в расчет только пары (1, 2) или, что ю же самое, (2, 1). Cm., между прочим, И|ш.мечанпе в и. С.2. (Л.)
39. Орбиты планет 755
Полагая е =имеем
T -j— T' = 1 -
Интегрируя это уравнение, получим
7 = 1 “Г, (38.7)
где 2т есть постоянная интегрирования.
Легко проверить, что это решение удовлетворяет всем трем уравнениям *). Соответственно этому, подставляя е~х = е — и уравнение (38.2), получим:
ds2 = — f"1 dr2 — r2d б2 — г2 sin2 0 <fo2 7 dt2, (38.8)
2m
где T = I------—; (38.8) представляет собою частное решение гра-
витационных уравнений Эйнштейна G = 0. Решение этого вида впервые было пол}чено Шварцшильдом.
39. ОРБИТЫ ПЛАНЕТ.
Согласно (15.7), путь частицы, свободно двигающейся в пространстве времени, заданном уравнением (38.8), определяется из уравнений (28.5) геодезической линии, а именно:
d23S dx dx
Положим сперва а = 2, тогда остаются следующие неравные нулю члены
I HO 01 dxI dx4 I IOl Ol dxI dxI I IOO Ol dx3 dx3 n
177 + ~dT ~di г{33>г]~ж~ Ys-0'
или, применяя (38.5):
' 2 dV df) ft • П /QQ .-M
- cos Q sin 0 — = 0. (39.
tfs2 r ds ds у ds
Выберем теперь координаты так, чтобы в начальный момент
1
частица двигалась в плоскости 0 = -^-тс. Тогда, в тот же началь-
B n ft <1 1«
ный момеит, — = U и cos Q = U, а следовательно и —— = U.
ds ds2
*) Очевидно достаточно проверить уравнение (38. €4).
(II)
і.5(5
Закон тяготения
Поэтому частица будет продолжать двигаться в этой плоскости, и мы можем упростить оставшиеся уравнения, полагая везде \
Уравнения, получаемые при а = 1, 3, 4, можно найти тем же путем:
%+т* (г)'(?)*-«• <39-31>
S + TS-SM- <39-32>
- + (39.33)
as- ‘ as ds
Последние два уравнения сразу же можно проинтегрировать, причем получим:
(39.41)
?=«-’ = f (39-42)
где h и с постоянные интегрирования. Вместо того чтобы заниматься интегрированием уравнения (39.31), можно взять уравнение (38.8), которое играет здесь роль интеграла энергии**). Это даст:
__1 /</г\2 ( /dl''-
dsJ^tdF)-^^—1' (39-43>
*) В самом деле, дифференцируя уравнение (39.2) последовательно по s,
d30
МЫ получим—= О,...
Таким образом полная производная от 0 по 5 в начале координат равна 0, и поэтому величина 0, которая согласно общим теоремам существования может быть разложена вблизи начала координат в ряд Тейлора, не зависит от s.
(Я.)
**) Действительно, согласно приведенному в § 28 выводу формулы (IV) из (III), мы видим, что одно из уравнений (III) может быть заменено выра-
dxn
женпем (IV) в том случае, если соответствующий множитель ga-? не равен нулю.
(Я.)
39. Орбиты планет J57
Исключая dt и ds при помощи (39.41) и (39.42), найдем:
I I A dr\2 A2 с2
Tlr2 d?) + 7"" ’ (39.44)
/і 2т\
откуда, умножая все члены уравнения на у или I I---------------I, получим
a. 4- ^ 4-
/*2 d ф I г2 V V г2 ?
или, обозначая — через гг.
г
du V і „ с2 — 1, 2от
м-)-2т«3. (39.5)
Дифференцируя по <р и сокращая на , будем иметь
U CO
— _|_ м = _ _j- зши25 (39 _ є 1)
