Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эддингтон А.С. -> "Теория относительности" -> 51

Теория относительности - Эддингтон А.С.

Эддингтон А.С. Теория относительности — М.: ОНТИ, 1934. — 508 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaotnositelnosti1934.djvu
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 176 >> Следующая


Tj2 = Г2 V (г).

Тогда равенство (38.12) принимает вид:

ds* = _ U1 (V1) (Ir* — Г* d№ — Tj2 sin2 6 d'f + W1 (r J r/t2, (38.13)

где U1 и W1 — произвольные функции от T1. Нет оснований рассматривать г в выражении (38.12), как величину более сходную с г из формулы (38.11), чем величина гу. Если функции U, V, W мало отличаются от единицы, то как г, так и T1 приблизительно имеют те же свойства, как и радиус-вектор в эвклидовой геометрии; но никакая длина в неэвклидовоы пространстве не может обладать точно такими же свойствами, как эвклидов радиус-вектор; поэтому совершенно не важно, выберем ли мы в качестве заместителя последнего величину г или гг Мы остановимся здесь на величине V1 и, опуская значок, перепишем уравнение (38.13) в следующем виде

ds2 = — e'dr'2 — г2 с?92 —¦ г- sin2 fj-f- e'dt'2, (38.2)

где Xhv будут функциями одного только г.

Более того, так как гравитационное поле частицы (или отклонение от плоского пространства-времени) бесконечно уменьшается при бесконечном увеличении расстояния, то X и V должны стремиться к нулю, когда г стремится к бесконечности.

при соответствующем введении новых координат ведет к решению Шварц-ішиьда (G. D. Birkhoff. Relativity and Modern Physics, Cambridge, Harvard University Press 1923).

Таким образом, решение Шварцши.іьда соответствует наиболее ofiijferny центрально-симметричному распределению масс, конечно, вне масс—результат, который неоднократно был использован в новейшей литературе. (II).
38. Гравитационное поле материальной точки І5І

Следовательно, при бесконечно большом расстоянии от частицы (38.2) сводится к формуле (38.11).

Нашими координатами являются:

X1 = I-, X2 = 0, ar3 = 9, Xi = I,

а компоненты фундаментального тензора (см. 38.2) будут даны выражениями

'In'

922 :

' r^i 9 т:

-г2sin26, <7,и = е', (38.31)

^av = 0, если (j. ф V.

Детерминант д сводится к произведению элементов его главной диагонали <7п^22^33^«• Следовательно,

, — Px+-' И sin2 0

(38.32)

д« =

1

In

11 т. д.. так что

И — >. 22

9 = — е , д ¦¦

1 33

-7, <1 =

44

! Sln2 б’

е~\ (38.33)

Гак как все gv-'1 равны нулю, кроме тех из них, у которых оба значка одинаковы, то суммирование для трехзначковых символов в (27.2j отпадает, и мы имеем просто без суммирования

1 (да да да '

— 1 і & из vM-j

aI

-9

дх дх

дх

Если значки v, о заведомо различны, то представятся следующие возможные случаи (причем условие о суммировании временно теряет силу):

I dg Id

і \ . U.U. & U.-

{уа, и.} =

_ grr : 2 дх

JJ.

1 да

/V [ЛU-

~2 9 ~дР

2^T(lgV)

(38.4)

{jj,u,v} =

I dg Id

M = т 9п^=2^ Qggri)

и. У.

{JJLVj а} = О

Теперь легко получить все 40 трехзначковых символа; вы-
/.">2 Закон тяготения

числяя значения тех из них, которые не обращаются в нуль *), получим следующие результаты (причем штрих обозначает дифференцирование по г).

(11,1} =Ix',

{12,2} =1,

{13,3} =4"»

{14,4} =

{22,1} = —

{23,3} = ctg 6,

{33,1} = —г sm*6e"\

{33,2} = — sin 0 cos О,

{44,1}

Все остальные 31 скобки равны 0. Заметим, что (21.2) равно {12,2} и т. д.

*) При этой нужно заметить, что величины = —— согллсно (38.33)

зависят только от г = Xll за исключением ^33, которое зависит также от 0=?. Таким образом, из (38.4) сразу же получаем, что из скобок {р.[х, (j.} остается неравной нулю только {11,1}, а из скобок {(лр, v} только {pp., 1} ((л = 1,2, 3, 4) и {33.2}, и, наконец, из скобок {[j.v, ч} только (1 ч, v} (v = 1,2,3, 4) и {23,3}. Отсюда сразу же получаются фориулы (38.5).

Быть может, небезннтересно будет привести еще здесь элегантный метод вычисления скобок Кристоффеля, который был применен Гильбертом (Grundlagen der Physik1 2. Mitteilung. Gbtt. Nachr. 1917, Math. Ann. 22). Для этой дели очевидно достаточно установить дифференциальные урав. нения геодезической линии, так как среди их коэффициентов встречаются все искомые скобки:

. (38.5)
38. Гравитационное поле материальной точки 153

Эти значения должны быть подставлены в {37.2}. Так как при выполнении этой операции могут встретиться некоторые затруднения, то мы сперва выпишем уравнения (37.2) полностью, опуская члены, равные нулю (их число равно 223).

Gu= {ЇМ}+ {И,!} {11,1}+ {12,2} {12,2} +

+ {13,3} {13,3} + {14,4} {14,4} + -? Ig V~9~

дг'1

-{11,1} IgУ~

Cfaa=------{22,1} +2 {22,1} {21,2} + {23,3} {23,3} +

I &V —9— {22,1} Ig V—9 J

Gf33=-|;{333 1}-^ {33,2}+ 2 {33,1} {31,3} +

+ 2 {33,2} {32,3} —{33,1} ^ Ig {33,2} ^ Ig

в«=~Ъ И4Д} + 2 {44,1} {41,4} {44,1} *-lg/=^,

G12= {13,3} {23,3} -{12, 2} ± IgVTT9.

Ho эти уравнения получаются при выводе дифференциальных уравнений, относящихся к следующей вариационной задаче:

•Л—(SMS)I*-*

Они имеют вид

д dp )

где через V обозначено подинтегральное выражение. Таким образом, разделив на коэффициенты при вторых производных, получим уравнения:

%+т (Xf - «*<33 - ‘ ЧІ/+Г - V(?H I

</26 2 d9 dr . 0 . (d'р \2

—„ -4-— sin 9 cos 0 I -j- ) = О
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed