Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
10*
JiS
Закон тяготения
было доказано, что тензоры, не содержащие производных выше второго порядка, всегда могут быть образованы при помощи тензоров д^ч и Ве^.,а, поэтому, если мы не собираемся пользоваться производными выше второго порядка, то выбор закона тяготения окажется сильно ограниченным, и мы едва ли сможем избежать введения тензора Gy,*).
He вводя высших производных, которые были бы повидимому излишни в этой задаче, можно предложить, как некоторого рода видоизменение уравнения (37.3), закон
(37-4>
где X—мировая постоянная. Имеются теоретические основания поіагать, что это последнее уравнение соответствуем,действительности; но совершенно ясно, что X должна быть очень малой постоянной. Поэтому в практических приложениях мы будем пользоваться законом (37.3), как достаточно точным. Введение очень малой постоянной X ведет к сферическому миру Эйнштейна или де-Ситтера, к чему мы вернемся в главе V.
= (37.5)
называется гауссовой кривизной, или просто кривизной пространства-времени. Однако, нужно помнить, что отклонения от плоского характера описываются более точно при помощи тензоров G v и (иногда называемых компонентами кривизны,) и что ра-
венство нулю величины G ни в коем случае не является достаточным условием для наличия плоского пространства-времени.
Закон тяготения Эйнштейна выражает тот факт, что геометрия пустых областей мира не тождественна с наиболее общей риманновой геометрией, а является только лишь ее ограниченным видоизменением. Действительно, общая геометрия Риманна соответствует квадратичной форме (2.1), в которой величины д представляют собой совершенно произвольные функции от координат. Эйнштейн же утверждает, что естественная геометрия пустых областей не является столь общей по своей природе. Согласно его гипотезе, величины д могут принимать лишь те значения,
*) Закон В = 0 (дающий июское пространство-время для всехлпу-стых областей) очевидно будет слишком узок, так как он не допускает существования неприводимых силовых нолей.
38. Гравитационное поле материальной точки
которые удовлетворяют дифференциальным уравнениям (37.3). Напомним, что силовое поле возникает как следствие различия между естественной геометрией координатной системы и приписываемой ей абстрактной галилеевой геометрией; таким образом, всякий закон, управляющий силовым полем, должен быть законом естественной геометрии. В этом и заключается причина, благодаря которой закон тяготения должен выступать как ограничение, накладываемое на естественную геометрию мира. 3aRon обратных квадратов, являющийся вполне возможным законом изменения с расстоянием предполагаемой абсолютной силы, становится совершенно непонятным (и невозможным), если его трактовать как некоторое ограничение, накладываемое на действительную геометрию мира. Мы должны заменить его некоторым законом, которому подчиняются тензоры, описывающие мировые соотношения, определяющие естественную геометрию.
38. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ.
Попытаемся теперь найти частное решение уравнений (37.3) Решение, которое мы получнм,как показано ниже, будет соответствовать полю изолированной материальной частицы, все время находящейся в покое в начале координат; при отыскании решения мы будем руководствоваться общими соображениями, которые мы можем иметь о виде решения в случае такой частицы. Эти предварительные аргументы не обязаны быть строгими, так как окончательной проверкой полученной догадкой формулы будет служить факт, что она удовлетворяет установленным уравнениям *),
*) Для оценки приведенного ниже решения несомненно существенным является тот факт, что оно, при соблюдении некоторых условий, является единственным. На это обстоятельство в статье Шварцшильда обращено особое внимание. Решение, приведенное в тексте, так же, как и у Шварцшильда, получается при соблюдении следующих условий:
1) галилеев характер метрики в бесконечности;
2) равенство нулю gib '/i2, Sr43;
3) независимость ^ v от t;
4) шаровая симметрия части dsa, относящейся к «пространству».
Впрочем, предположение І) несущественно, как было отмечено Гильбертом (Д Hilbert, Grundlagen der Physik1 2. Mitteilung. Gott. Nachr. 1917, Math. Ann. 22). Биркхофф недавно показал, что предположения 2) и 3) также несущественны, но что, напротив, вытекающее уже из одной только а пространственной» шаровой симметрии выражение
rfs2 = а (tt г) dft -j- P (t, г) ((/02 -j- ЯІП 20 rf'-рЯ) -f- Y (f, r) fIl-3 -)- X (t, г) dl dr,
IaO
Закон тяготения
Для плоского пространства-времени интервал, выраженный через сферические полярные координаты и время, будет равен *2 = — *2 — )-2 rffj2 _ г2 sin2 е d»2 _(- (38 .11)
Если мы учтем изменения этого выражения, которые могут быть сделаны без нарушения сферической симметрии в пространстве, симметрии по отношению к прошедшему и будущему времени и без нарушения условия статичности, то наиболее общим возможным выражением для интервала окажется следующее:
ds 2 = _ и (г) (Ir2 — V (г) (г2 ,№ г2 sin2 6 d'f) + W (г) dt% (38.12) где U, V, W являются произвольными функциями от г. Пусть
