Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Преобразование Лоренца (которое не изменяет «естественного» характера координат) позволяет всякое тело, помещенное в данной точке, или наблюдателя, находящегося в этой точке, вместе с его измерительными приборами, привести к покою. В дальнейшем естественные меры рассматриваются уже как собственные меры материальной системы или наблюдателя. He мешает заметить, что в указанном случае материя будет в покое как в смысле скорости, так и ускорения (если только на нее не действуют электромагнитные силы), так как для естественных координат не существует ускоряющего поля.
Подведем теперь итоги нашего обсуждения специальных координатных систем. Если тензор Риманна — Кристоффеля равен нулю, то галилеевыми координатами можно пользоваться во всей рассматриваемой области. Если этот тензор не равен нулю, то для данной точки можно найти такие координаты, которые не будут отличаться от галилеевых координат в смысле значений компонент тензора g и их первых, но не вторых, производных. Такие координаты называются естественными для данной точки. Галилеевы или естественные координаты могут быть подвергнуты преобразованию Лореица, так что всегда оказывается возможным выбрать систему, по отношению к которой данный наблюдателі будет находиться в покое. Эта система будет собственной системой вашего наблюдения. Хотя, в общем случае, нельзя выбрать естественные координаты таким образом, чтобы они совпадали с гали
Теория относительности.
10
Закон тяготения
леевыми координатами и по значениям вторых производных от д , но можно ввести 80 частью произвольных условий для 100 вторых производных. Если эти условия выбраны согласно формуле (36.7), то получающиеся координаты называются каноническими.
Имеется еще другой способ специализации координат, который мы упомянем здесь для полноты. Всегда возможно выбрать такие координаты, чтобы детерминант д = — 1 во всей области (как в случаи галилеевых координат). Это будет изложено в п. 49.
Можно наконец рассмотреть еще специализированные координаты, которые применяются в частных задачах. Имеются определенные (не-эвклидовы) координаты, с которыми, как это было найдено, удобнее всего иметь дело при изучении гравитационного поля солнца, или кривых миров Эйнштейна, де-Ситтера и т. д. Однако, нуяшо помнить, что эти вопросы принадлежат к идеализированным задачам, и координатными системами с простыми свойствами, для их описания в действительности можно пользоваться лишь приближенно. Если возможно, то при этом выбирается стационарная система координат, т. е. такая, в которой все д не зависят от одной из координат Xi (имеющей характер времени *). В этом случае интервал, соответствующий какому-нибудь перемещению dx, не зависит от «времени» Xi. Подобная система, конечно, может быть найдена только в том случае, если относительное расположение тяготеющих масс остается неизменным. Если, кроме того, возможно сделать величины дш дЫ} ди равными нулю **), то время будет обратимо и, в частности, скорость распространения света вдоль какого-нибудь пути будет одинакова как в одном, так и в другом направлении; это делает применение термина «время» к Xi более законным, так как здесь выполняется одно из требований п. 11. Мы будем, если только это возможно, при рассмотрении больших областей мира применять стационарные, статические и обратимые системы; задачи, в kotoj ых это упрощение недопустимо, обычно не могут быть решены, как, например, задача двух притягивающихся тел. Для малых областей мира удобнее всего применять естественные координаты.
*) dx4 будет иметь характер времени, если Hii всегда положительно
**) Такая система называется статической.
37. Закон тяготения Эйнштейна
U7
37. ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА.
Сокращенный тензор Риманна — Кристоффеля можно получить из тензора Вй , полагая в нем е = о. Таким образом, на основании (34.4):
rV = aI {«v, а} — {^v, а} {аа,с} -f -?- {(и, о} — ~ {^v, с} (37.1)
V а
Скобки, в которых один и тот же значок встречается два раза, могут быть упрощены согласно (35.4), а именно
— 9-
P-
Отсюда, произведя некоторые изменения немых значков, получим
г) ()2 ______
^ = “ аГ {!AV’ “} + ^ а} + d^lg У-9-
а JJl V
дх
¦ IgV-Sf (37.2)
Если бы мы сокращали, положив s = мы не получили бы нового тензора, так как
Bil = /р В = О,
[J.M3 *7 JJ.V30 г
благодаря антисимметричности тензора В по отношению к jj, и р. Закон
Gv = O (37.3)
выбран Эйнштейном как закон тяготения в пустом пространстве.
Из (37.2) ясно, что G является симметричным тензором; следовательно, закон тяготения дает 10 дифференциальных уравнений в частных производных для определения д . Ниже будет показано (п. 52), что между этими уравнениями имеется 4 тождественных соотношения, так что в действительности число уравнений сводится к шести, и, так как этих уравнений недостаточно для полного определения д, то, соответственно произволу в выборе координатной системы, можно добавить еще дальнейшие условия для д Полученные уравнения будут второго порядка, линейные по отношению ко вторым производным тензора д . В п. 36
