Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эддингтон А.С. -> "Теория относительности" -> 48

Теория относительности - Эддингтон А.С.

Эддингтон А.С. Теория относительности — М.: ОНТИ, 1934. — 508 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaotnositelnosti1934.djvu
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 176 >> Следующая


о р V a Y у. v a

так как сами трехзначковые символы обращаются в нуль в начале координат.

Отсюда, на основании (36.5) *) и (36.45)

-Jc7 р}; 9? —9І і 9] {«Mo = «;чо;

S Ї

а последнее выражение сводится к равенству

*р’ sjO ~ е}о = ' (36 ¦55)

о <з

Следовательно, при преобразовании по формуле (ЗБ.5), к выражению -^-{|xv, s} прибавляется член .

1S

Благодаря симметричности коэффициента все три члена

обязательно должны увеличиться на одну и ту же величину.

С другой стороны, в начале координат

^-{^?} —!р>?}=^; (36-6)

ч з

так как остальные члены в равенстве (34.4) обращаются при выбранных нами координатах в нуль.

Мы не можем изменить какую-либо нз компонент тензора Рнманна—Кристоффеля, так как левая часть остается при преобразовании неизменной; подчиняющиеся же этому ограничению (которое вполне объясняется симметрией ае относительно [J., v, а) изменения производных от трехзначковых символов произвольны.

Наиболее симметричным путем можно наложить дальнейшие условия, проделав преобразование, для которого в начале координат

+ + ^ K-K=O. (36.7)

а ч |i

Это соответствует следующим значениям а

a I 1д, , , д , , , д . Л

V» —т 1?: l^*1+*г It*0' *>т sr I”. *i j

*) О причине исчезновения множителя Ve CM. (35.6).
36. Плоское пространство-время

из

Если произвести такое преобразование, а новые координаты опять обозначить через х1У жа, xs, Xi, то с помощью 80 уравнений (36.7) можно выразить все производные трехзначковых символов в нуле через В* . Действительно, из (36.6) и (36.7) по-лучим

ip,

с

Ho отсюда, если принять во внимание исчезновение производных от д в нуле, будем иметь

4ы=-т(',Н

<3

-А_ [р> р] = — у (B^p 4- в./|мр j,

дхр OXz дха

[!iP?v] + tvP) Iа] = —-3 ( BP.IIV. jT b^jTbmT1jT bpv.,, )

или, принимая во внимание антисимметрию тензора -Btpjv по отношению к значкам (і и v:

d2q I / I / ч

, T- =-о- В +В ) = В 4-В ). (36.75)

дх дх З V ltvoP 1 З V ltvaP 1 silP1/ ’

р 3

Из доказанной таким образом возможности выразить вторые производные от g в начале координат через компоненты тензора В следует, однако, что из компонент В только точно 20 яв-

д^д

ляются независимыми; действительно, 100 производных -----------------

дх дх ’

P 3

которые связаны 80 линейными уравнениями (36.7), можно, как мы это видели, выразить через компоненты Bjj po, среди которых самое большее имеется только 20 линейно независимых. Следовательно, эти 80 уравнений линейно независимы, и среди компонент тензора .Bsivpv имеется 20 линейно независимых, между которыми нельзя даже установить никакой алгебраической зависимости.

Координаты, для которых производные равны нулю, а про-
НІ

Закон тяготения

д^д

взводные ------~ удовлетворяют формуле (36.7), называются

дх дх

G <¦

каноническими координатами.

Оба последовательных преобразования, ведущие к получению канонических координат, можно соединить в формулу

= 9І < — 2 ЕЇ°'Т- х’>—

'18

дхг

В начале координат = д‘л; следовательно, при этом пре-



образовании тензоры остаются неизменными в начале координат. Например, закон преобразования CTivo дает дхп дх дх

пг ____ /~1 _______?____Ї f! * _р Y _ Г1

"Pt дх' дх' дх' "Pt 'yV "•< *

fj. V а

В самом деле преобразование изменяет кривизну и гнперкри-

внзну осей, проходящих через начало координат, но не изменяет

углов, образованных их пересечением.

Рассмотрим теперь какой-нибудь тензор, зависящий только от g , и их первых и вторых производных. В канонических координатах первые производные равны нулю, а вторые производные являются линейными функциями от -В , следовательно и весь

взятый нами тензор есть функция от g и -B14ae. Ho ни тензор сам по себе, ни величины g и B^im не изменяются при преобразовании к каноническим координатам, следовательно, то же самое функциональное соотношение справедливо и для каких угодно первоначальных произвольных координат.

Таким образом, мы получаем важное следствие: Все фундаментальные тензоры, не содержащие производных от д^ выше, второю порядка являются функциями от д^ и B n.

Именно, для того чтобы выразить эти тензоры через ди B n, надо только положить первые производные от д^iv равными нулю, а для вторых производных подставить выракения (36.75).

Отсюда следует, что рассмотрение тензоров, описывающих свойства пространства - времени, было проделано нами исчерпывающим образом вплоть до производных второго порядка. Ёсли при соответствующим образом выбранных координатах две
36. Естественные координаты

поверхности обладают одинаковыми значениями дг, и B^vtj в какой-либо точке, то они будут касаться одна другой с точностью до третьих степеней от разностей координат. При помощи этих двух тензоров можно определить всю метрику пространства вокруг точки с указанной точностью.

Обратив первые производные в нуль, мы можем при помощи линейного преобразования, изложенного в п. 4, придать д галилеевы значения в избранной нами точке. Полученные таким образом координаты называются естественными координатами в этой точке; про величины же, выраженные в этих координатах, говорят, что они заданы в естественной мере. Таким образом, естественные координаты эквивалентны галилеевым координатам, если принимать во внимание только g и их первые производные; отличие между обеими появляется лишь при изучении явлений, зависящих от вторых производных.
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed