Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Это условие является также достаточным, т. е. если тензор Риманна—Кристоффеля равен нулю, то мир должен быть плоским.
Доказать это можно следующим образом. Мы нашли (п. 3,4), что если
В1« = 0, (36.1)
36. Плоское пространство-время
то параллельным переносом вектора по всей области возможно построить однородное векторное поле. Пусть А* будут четыре однородных векторных поля, получаемые при значеннях а — 1, 2, 3, 4, так что
Заметим, что а не является тензорным значком, а просто лишь отличает четыре независимых вектора друг от друга.
Мы будем применять ЭТИ четыре однородные векторные ПОЛЯ для определения новой координатной системы, обозначаемой штрихами. Пусть наша единичная координатная клетка будет представлять собой гипер-параллелепипед, образованный четырьмя векторами в каждой точке. Полная система клеток будет получена последовательный параллельным перемещением этой единичной клетки до тех пор, пока не будет заполнена вся область. Одно из ребер единичной клетки, определяемое в старых координатах при помощи равенства
будет задано в новых координатах через
= (0, 1, 0, 0) и т. д. Отсюда вытекает закон преобразования
Конечно, ностроение штрихованной координатной системы зависит от возможности построения однородных векторных полей, а последнее, в свою очередь, зависит от того, удовлетворяется ли условие (36.1) илн нет.
Так как величина ds2 есть Инвариант, то (см. 36.3):
или на основании (29.4):
(36.2)
(36.3)
q adx'dx'~ q dx dx — q A?. A 1'lx'dx& .
tjWp а р if jxv jx м jxv (а) (р) я H
Следовательно,
HO
Закон тяготения
Дифференцируя и применяя формулу (36.2), получим
__ А |i ^(P) і л ч ^(«) I А ч 4 ч ^ ^V-ч
дх ~9и- («> дх ^ 9V-^m дх r M ^dx
<3 1 Jf
— — 0 v} — g Al. А,‘. {за а) 4-Af. Am.
»[iv (а) (?) I > J (Э) (с) I (7) (8) ^a.
дд
M U
Переставляя немые значки, будем иметь (см. 27.5):
дд' в
"Й- = Л!\
??0? » (?)
"К) ЛП
, і I I . ^
ЛЛУ0> sJ —^sv eJ Tfa-
Q ¦
-Kri-K V]+^
= 0.
Следовательно, ^ постоянны во всей области.,. Итак, мы построили координатную систему, удовлетворяющую условию, что в ней все величины д являются постоянными. Отсюда следует, что данное пространство-время должно быть плоским.
Как мы видим, однородная система клеток, т. е. такая, в которой единичные клетки переходят одна в другую параллельным перемещением, необходимо должна быть декартовой системой (прямоугольной или косоугольной). В пространстве-времени, для которого тензор Риманна—Кристоффеля не равен нулю, однородность в таком смысле невозможна; так, например, на сфере не может существовать системы клеток.
Если пространство-время не плоское, то можно ввести координаты, которые будут приближенно галилеевыми в малой области вокруг выделенной точки; величины g в этой области будут хотя и не постоянными, но стационарными. Это сводится к отождествлению искривленного простраиства-времени с соприкасающимся плоским пространством-временем, на небольшом расстоянии вокруг точки. Чтобы выразить сказанное аналитически, надо выбрать координаты таким образом, чтобы 40 произ-dg ч
.водных ®ыли Равиы нулю в избранной точке. Хотя из
S
общих соображений достаточно очевидно, что это всегда возможно, но все же мы приведем здесь и точное доказательство. Перенеся начало координат в избранную точку, произведем следующее преобразование координат:
О. ' ^ Г ~ I ILVrf
36. Плоское пространство-время
Ш
причем значения трехзначковых символов должны быть взяты в начале координат. Тогда в начале координат имеем
дх
= ^ (36.45)
и затем
д^х дх дх0
дх'-д*-=~№' ?}о -M-
IIV (I V
Отсюда, на основании (31.3)
дх
p^o ^ = 0*
Ho Р
дх
{^’ РГо Р>о s^o-
р
Следовательно, в новых координатах трехзначковые символы равны нулю в начале координат, а из равенств (27.4) и (27.5) следует, что первые производные от также равны нулю. Именно это предварительное преобразование предполагалось нами еще в п. 4.
Мы перейдем теперь к несколько более трудному преобразованию, важному потому, что оно дает нам новое представление^
о значении тензора .
Вторые производные от g (точно так же, как и первые производные) не могут обратиться в нуль в произвольно выделенной точке, если в ней не равец нулю тензор Риманна—Кристоффеля; но, выбирая соответствующим образом координаты,
можно наложить на 100 вторых производных большое чнсло
других специальных условий. Произведем следующее добавочное преобразование
х = д* х’ 4- 4- a s'х'х’ (36.5)
є Ij- И- 1 п 4 '
где о‘v(J — произвольные коэффициенты, симметричные по отношению к значкам |х, v, а. Эт0 преобразование не изменяет значения первых производных от дв начале координат, которые уже были обращены в иуль при помощи предыдущего преобразования, на Зато изменяет вторые производные. Дифференцируя (31.3), т. е-равенство
дх дх дха д-х
а р _
ш
Закон тяготения
получим в начале координат
д ,дхе дха дх;_ дх_( д д3хг
дх' ^' 'i дх' дх' дх' дх' дх ^a^,s^° дх' дх' дх' ’
